8.Уравнения, допускающие понижение порядка.

  Понижение порядка дифференциального уравнения – основной метод решения уравнений высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем уравнениям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка.

  

Уравнения вида y⁽ⁿ⁾ = f(x).

  Если f(x) – функция непрерывная на некотором промежутке a < x < b, то решение может быть найдено последовательным интегрированием.

 

9.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид  . Определение. Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция  , которая при любых значениях   и   является решением этого уравнения. Определение. Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение  . Если коэффициенты   и   постоянны, т.е. не зависят от  , то это уравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами и записывают его так:  . Уравнение   будем называть линейным неоднородным уравнением. Определение. Уравнение  , которое получается из линейного однородного уравнения заменой функции   единицей, а  и  - соответствующими степенями  , называется характеристическим уравнением. Известно, что квадратное уравнение   имеет решение, зависящее от дискриминанта  :  , т.е. если  , то корни   и  - действительные различные числа. Если  , то  . Если же  , т.е.  , то   будет мнимым числом, а корни   и  - комплексными числами. В этом случае условимся обозначать  .

10.Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида

где p, q − постоянные коэффициенты.

Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение:

Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:

1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения k1 и k2 действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией

где C₁ и C₂ − произвольные действительные числа. 

2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k₁ второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k₁ = α + βi, k₁ = α − βi. Общее решение записывается в виде

11.Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами

     Характеристическое уравнение 

 - корни характеристического уравнения.

     Общее решение 

     1. Все корни характеристического уравнения различные, тогда

     Если среди корней есть пары комплексно-сопряженных корней, например  , решение можно записать в виде

     2. Среди корней характеристического уравнения есть кратные, например,   имеет кратность k (остальные - простые), тогда

     Если среди корней есть пары сопряженных корней кратности k, например  , решение можно записать в виде