9. Линейно зависимые и линейно независимые вектора

Пусть – векторы из некоторого линейного пространства.     Определение: Линейной комбинацией векторов , называется выражение вида: , где – действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.      Линейная комбинация дает в результате сложения векторов, умноженных на число , также вектор.      Примеры:          1. 2 (2,5,1) – 4 (1,3,0) + (0,0,1) = (0,-2,3);          2. 3 (5,4) – 5 (-1,2) +2 (-10,-1) = (0,0).     Последний пример показывает, что в некоторых случаях можно в результате линейной комбинации векторов получить нулевой вектор при ненулевых коэффициентах (при всех нулевых коэффициентах мы всегда получим ).      Определение. Система векторов называется линейно зависимой, если из этих векторов можно составить нулевую линейную комбинацию, когда хотя бы один из коэффициентов ее отличен от нуля. Так, в предыдущем примере векторы (5,4), (-1,2), (-10,-1) линейно зависимы.      Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один вектор (при котором стоит отличный от нуля коэффициент) можно выразить линейно через остальные.      Если , то .    И наоборот, если вектор представлен в виде линейной комбинации остальных векторов , то он в совокупности с ними дает систему линейно зависимых векторов, т.к. в комбинации коэффициент .      Определение. Система векторов называется линейно независимой, если из этих векторов невозможно составить нулевую линейную комбинацию, в которой хотя бы один из коэффициентов был бы отличен от 0. Т.е. векторы будут линейно независимы, если равенство возможно лишь при всех . Очевидно, ни один из этих векторов нельзя выразить через остальные.       Пример. Будут ли векторы линейно зависимыми?     Решение. Составим линейную комбинацию . Подставим координаты и выполним действия над векторами: λ(2,4)+β(5,1)=(0,0) => (2λ,4λ)+(5β,β)=(0,0) => (2λ+5β,4λ+β)=(0,0).       В равных векторах должны быть равны соответствующие координаты:             Решив эту систему уравнений, получаем: а это значит, что линейно независимы.       Пример. Будут ли векторы линейно зависимыми?   Решение. Составим линейную комбинацию и приравняем ее к :      Выполнив действия над векторами и приравняв координаты равных векторов, получим      Решим систему уравнений: .      В этом решении число β играет роль параметра; задавая его произвольно, будем получать значения α и γ, которые вместе с β дают то или иное решение системы. Так, при β ≠ 0 получим α ≠ 0 и γ ≠ 0, из чего следует, что векторы дают нулевую линейную комбинацию при ненулевых коэффициентах, т.е. они линейно зависимы.

9. Базис линейного пространства, разложение вектора по базису

Определение. Базисом в пространстве Rⁿ называется любая система из n-линейно независимых векторов. Каждый вектор из Rⁿ, не входящих в базис, можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, т.е. разложить по базису.      Пусть – базис пространства Rⁿ и . Тогда найдутся такие числа λ₁, λ₂, …, λ_n, что .      Коэффициенты разложения λ₁, λ₂, …, λ_n, называются координатами вектора в базисе В. Если задан базис, то коэффициенты вектора определяются однозначно.      Пример. Доказать, что векторы образуют базис в R³.      Решение. Покажем, что равенство возможно только при λ₁ = λ₂ = λ₃ =0:           или      Решив систему, получим λ₁=0, λ₂=0, λ₃=0. Так как все λ_i=0 (i=1,2,3), то - линейно независимы. Они могут составить базис в R³.      Очевидно, любой новый набор из векторов может тоже быть взятым в качестве базиса в R³. Итак, базис может быть выбран неединственным образом.      Пример. Разложить вектор по базису .      Решение. . Подставим координаты всех векторов и выполним действия над ними:           Приравняв координаты, получим систему уравнений:           Решим ее: .      Таким образом, получим разложение: .      В базисе вектор имеет координаты .     Замечание. В каждом n-мерном векторном пространстве можно выбрать бесчисленное множество различных базисов. В различных базисах один и тот же вектор имеет различные координаты, но единственные в выбранном базисе.