1.4. Сходящиеся силы
Силы называются сходящимися, если линии их действия пересекаются в одной точке.
Теорема о трех силах.
Если на твердое тело действует уравновешенная система трех непараллельных сил, расположенных в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.
Доказательство.
Пусть три непараллельные, взаимно
уравновешенные силы расположены в одной
плоскости. Точки их приложения А1, А2 и
А3 (рис.12). Продолжим линии действия сил
до пересечения в точке О. Согласно
следствию из аксиомы II
перенесем эти силы в точку О и заменим
их согласно аксиоме III
одной
равнодействующей силой.
=
+
Так как силы
и
должны уравновешиваться, то по аксиоме
I
=
и линия действия силы
также пройдет через точку О, что и
требовалось доказать. Из рис. видно, что
равнодействующая двух сходящихся сил
P1
и
P2
является по величине и направлению
диагональю параллелограмма, построенного
на этих силах, а система трех сходящихся
сил образует замкнутый силовой треугольник
(рис.13).
Теорема о геометрическом сложении сходящихся сил.
Система сходящихся сил имеет равнодействующую, равную их геометрической сумме.
Доказательство.
Пусть в точке
О приложены силы
P1,
P2,
P3
(рис.14).
Последовательно применяя правило
параллелограмма сил, получим
равнодействующую сил
и
.
Затем найдем
равнодействующую сил
,
,
;
=
+
Равнодействующая
всех четырех
,
,
и
сил
будет:
R=
=R2+
P4
=
+
+
+
,
В случае n сходящихся сил их равнодействующая будет равна:
Равнодействующую силу R можно найти путем построения силового многоугольника, являющегося замкнутой ломаной линией, звеньями которой служат сходящиеся силы данной системы (рис.15).
Если система сходящихся сил уравновешена, то ее равнодействующая равна нулю.
= 0
Уравнения равновесия сходящихся сил.
Если сходящиеся силы в прямоугольной системе координат X, Y, Z уравновешены, то равнодействующая сила обращается в нуль, и, соответственно равны нулю ее проекции на координатные оси
;
;
.
Если уравновешенная система сходящихся сил расположена в одной плоскости, то уравнение равновесия запишется в виде:
;
.
1.5. Главный вектор и главный момент для произвольной системы сил.
Для произвольной системы сил их геометрическая сумма называется главным вектором системы сил:
.
Главный вектор не является равнодействующей этих сил.
Пусть О - произвольная точка в пространстве. Геометрическая сумма моментов сил относительно центра О называется главным моментом системы сил относительно взятого центра. Если обозначить главный момент через , то будем иметь:
.
На рис. Показано построение главного вектора и главного момента системы, состоящей из трех сил.
Заметим, что
,
где
– полярный радиус-вектор точки приложения
силы относительно центра О.
Тогда
Выясним, как меняется главный момент при перемене центра. Пусть О - новый центр (рис.16).
Тогда
,
но
.
Значит,
=
,
или
