Вопрос 19

В гидромеханике существуют два метода изучения движения жидкости: метод Лагранжа  и метод Эйлера.

1.                     Метод Лагранжа заключается в изучении движения каждой отдельной частицы жидкости. В этом случае движение определяется положением частицы жидкости в функции от времени t. Движение частицы будет определено, если точно определить координаты x, y, и z в заданный момент времени t, что дает возможность построить траекторию движения частицы жидкости. Величины x, y, и z являются переменными Лагранжа, а их изменения за время dt позволяет получить значение dx, dy и dz, а затем путь    Проекции скорости на координатные оси определяются зависимостями  ,  ,  , а местная скорость   

 Метод Лагранжа сводится к определению семейства траекторий движения частиц  движущейся жидкости.

Учитывая, что для установления движения линии тока совпадают с траекторией движущихся  частиц, можно записать  =

               Это выражение называется уравнением линии тока. Метод Лагранжа в гидравлике не нашел

               Широкого применения  ввиду его относительной сложности.

2.     Метод Эйлера основан на изучении поля скоростей, под которым  понимается значение величины и скоростей во всех точках пространства, занятого движущейся жидкостью

Переменными Эйлера являются значения скоростей  , которые определяются в зависимости от координат точек пространства и времени, т. е.

Метод Эйлера нашел широкое применение в гидравлике. Он позволяет определить скорость в любой момент времени, но в то же время не позволяет изучить движение отдельной частицы жидкости.

Рассмотрим теперь понятие расхода жидкости и средней скорости.

Расходом Q называется количество жидкости, протекающее через сечение потока в единицу времени.

 или 

Средней скоростью называется одинаковая по всему сечению потока скорость, при которой расход равен действительному.

Средней скоростью в данном живом сечении потока называется такая фиктивная, но  одинаковая во всех точках сечения величина, при которой через данное сечение проходит такое, же количество жидкости, как и при действии распределенных скоростей.

Вопрос 20

Вопрос 22

Поверхность равного давления.

Поверхностью равного давления в жидкости называется поверхность, все точки которой испытывают равное давление.

Уравнение такой поверхности мы можем получить из основного уравнения равновесия жидкости, полагая P=const или dP = 0

Поверхность уровня на границе жидкой и газообразной сред называется свободной поверхностью.

Положение свободной поверхности зависит от сил, действующих на жидкость.

Свободная поверхность покоящийся жидкости

Из всех объемных сил на жидкость действует только вес, тогда F_x = 0 ; F_y = 0; F_z = 0

Дифференциальное уравнение будет представлено в виде:

dp = - ρgdz или P = - ρgz + c

Из этого уравнения видно, что поверхность равного давления, на которую действует только вес, будет определяться равенством: z = const, т.е. поверхность будет горизонтальной. Все поверхности равного давления в покоящейся жидкости параллельны друг другу.

Итак: поверхность уровня – горизонтальная плоскость.

Следовательно, величина гидростатического давления зависит только от глубины точки погружения и не зависят от формы сосуда.

23.

Основное уравнение установившегося равномерного движения жидкости.

Цель задачи: Найти зависимость потерь напора по длине от величины сил трения внутри жидкости.

Движение рассматриваем:

1. Установившееся

2. Плавноизменяющееся

3. Равномерное, т.е

W₁ = W₂ = W = const; U₁ = U₂ = U = const.

Для вывода уравнения воспользуемся законом количества движения.

Изменение количества движения равно сумме проекций всех сил, действующих на выделенный объем жидкости, на направление оси движения NN.

В случае равномерного движения изменение количества движения равно нулю. (KD) = mv; m = ρQ.

Выделим внешние силы, действующие на объем жидкости, ограниченной сечениями 1-1 и 2-2.

1. Собственный вес объема

G = Wℓρg, где W – площадь живого сечения, ℓ - расстояние между сечениями.

Проекция веса на направление движения NN:

G_N = Wℓρg sin θ, где ℓ sin θ = Z₁ – Z₂ G_N = ρgW (Z₁ – Z₂ )

2. Силы давления F₁ и F₂ действуют по пюруам выделенного объема:

F₁ = P₁W a F₂ = P₂W

Эти силы проектируют без искажения

3. Проекция на ось NN нормального давления на боковую поверхность (силы парные) равна нулю.

4. Силы трения

- силы внутреннего трения между слоями парные и равны нулю

- силы внешние (о стенки трубы)

Т₀ = τ₀ ^. ℓ ^. x, где τ₀ – касательные напряжения, ℓ - расстояние между сечениями, х – смоченный периметр.

Т₀ проектируется на направление движения без искажения.

G_N + F₁+ F₂ – T = 0

ρgW (Z₁ – Z₂ ) + P₁W – P₂ W - τ₀ ^. ℓ ^. x = 0

Разделим почленно полученное уравнение на ρgW:

(Z₁ – Z₂ ) + P₁/ρg – P₂ /ρg - τ₀ ^. ℓ ^. x / ρgW = 0

Перегруппируем члены уравнения:

(Z₁ + P₁/ρg) - (Z₂ + P₂/ρg) в случае равномерного движения эта разница равна потери по длине h_ℓ

h_ℓ = τ₀ ^. ℓ ^. x / ρgW; R = W/x, тогда x/W = 1/R

h_ℓ = τ₀ / ρg ℓ/R – это уравнение показывает зависимость потерь напора от силы трения.

h_ℓ/ℓ = Y, тогда уравнение перепишется в виде:

YR = τ₀ / ρg – основное уравнение равномерного движения.

Потери напора по длине для заданной жидкости прямопропорциональны касательным напряжениям силы трения Т₀.

24.

В природе существуют два вида движения: слоистый (упорядоченный) или ламинарный и турбулентный (неупорядоченный).

В результате опытов было установлено, что переход от ламинарного к турбулентному течению происходит при скорости, называемой критической. Эта скорость для труб разных диаметров различна, а так же она возрастает с увеличением вязкости жидкости и уменьшается с уменьшением диаметра трубы.

В результате опытов Рейнольдс установил общие условия существования ламинарного и турбулентного режимов.

Режим потока зависит от величины безразмерного числа, учитывающего основные факторы, определяющие это движение: U, d, ρ b и абсолютную вязкость μ.

Это число Рейнольдса: R_e = Udρ/ μ = Ud/v; или R_e = Uℓ/v

С физической точки зрения R_e представляет собой меру отношения кинетической энергии объема жидкости к работе сил трения. Кинетическая энергия пропорциональна ρℓ³U², а работа сил трения - μℓ³U

25.

Рассмотрим установившееся движение при ламинарном режиме полагая, что начальное сечение потока находится на достаточном расстоянии от входа для обеспечения устойчивого распределения скорости в поперечном сечении.

Ламинарное движение (слоистое) характеризуется силой трения, напряжение которой τ определяется законом внутреннего трения Ньютона:

1. τ = μ du/dy, где u – местная скорость течения

С другой стороны τ можно определить из уравнения равномерного движения:

2. τ = ρgRY

Приравняем уравнения 1 и 2, заменив R = r/2, а первое уравнение представим в виде:

τ = - μ du/dy (знак минус указывает на уменьшение скорости в направлении радиуса)

ρg r/2 Y = τ = - μ du/dy;

Полученное уравнение решаем относительно du:

du = - ½ ρgr Y dr / μ;

Интегрируем полученное выражение:

u = - ½ ∫ (ρgY / μ) rdr = - (ρgYr²/4 μ) + C

Постоянную интегрирования С найдем принимая r = r₀ a u = 0

C = ρgY / 4μ r₀², отсюда u = ρgY / 4μ r₀² - ρgY / 4μ r²

u = ρgY / 4μ (r₀² – r²)

Мы получили закон распределения скорости при ламинарном режиме. При r =0 u = u_max

u_max = (ρgY / 4μ) r₀²

26.

Потери напора на трение в круглой трубе при ламинарном движении.

Потери напора определим пользуясь уравнением:

U = ρgYr₀² / 8μ

Решаем его относительно уклона и заменим радиус диаметром, т.е. r₀=d/2

Y =8μ U4 / ρgd² = 32 μU / ρgd²

Умножим левую и правую часть уравнение на длину ℓ:

Yℓ = hℓ 8μ Uℓ / ρgd² = 32 vℓU / gd² , где v = μ /ρ;

h_ℓ = 32 vℓU / gd² формула Паузейля-Гагена

Потери напора при ламинарном движении пропорционально скорости.

Преобразуем полученную зависимость домножив и разделив правую часть на 2U

h_ℓ = 32 vℓU / gd^{2 .} 2U/2U = 64 vℓU²/ gd d 2U = 64 vℓU²/Udd2g, где 64v/Ud = 64/R_e = λ

При ламинарном движении коэффициент гидравлического трения, зависящий от числа Рейнольдса.

h_ℓ = λ (ℓU²/ d 2g) формула Дарси-Вейсбаха.

Мы получили общую зависимость потерь напора, где λ не зависит от шероховатости а только от R_e.

Потери напора при турбулентном движении

Воспользуемся уравнением установившегося равномерного движения:

τ = ρgRY

и решим его относительно Y:

Y = τ / ρg 1/R

Исходя из опытов Шези: τ / ρg = KU², где К – коэффициент пропорциональности равный: К = 1/С², где С – коэффициент Шези.

τ / ρg = U²/C², тогда уклон Y будет равен:

Y = 1/C² U²/R, где R = d/4 из этой зависимости получим U = C√RY

Y = 4/C² U²/d, c = √8g/λ - формула Шези, здесь λ – коэффициент сопротивления трению.

Поставим в зависимость, полученную для уклона Y, C и домножим левую и правую часть на ℓ:

Yℓ = 4λ/8g ℓU²/d ; h_e = λ (ℓ/d) U²/2g

При турбулентном режиме потери напора по длине пропорциональны длине участка и квадрату скорости.

27.

Законы распределения скоростей при турбулентном режиме.

Опытами установлено следующее:

1. Скорости у стенок трубы равны нулю (т.к. образуется неподвижный ламинарный слой).

2. На небольшом расстоянии от стенки скорости достигаю т значения мало отличающихся во всех точках живого сечения.

3. Средняя скорость в сечении равна:

U = (0,7 / 0,9) U_max

Принимая во внимание линейную зависимость пути перемешивания ℓ и расстояние от стенки y , т.е. ℓ = χy, воспользуемся уравнением касательных напряжений

τ = ρℓ² (du/dy)²

du = (√τ/ρ) dy/ℓ = (√τ/ρ) dy/χy; √τ/ρ = u_*, где u_* - динамическая скорость в м/c.

du = u_* dy/χy, интерпретируя это уравнение, получим:

u = (u_*/χ) ℓu y + C

Скорости у стенок трубы изменяются по логарифмическому закону.

Определим постоянную интегрирования С, полагая y = z, u = u_max

C = u_max - (u_*/χ) ℓu r

u = (u_*/χ) ℓu y + u_max - (u_*/χ) ℓu r

u = u_max + u_*/χ (ℓu y - ℓu r)

Мы получили закон распределение скоростей по живому сечению потока при турбулентном режиме.

28.

Потеря напора в линейных сопротивлениях

Линейными сопротивлениями называют преграды на пути движения потока.

Все местные сопротивления можно объединить в 4 группы

1. Сопротивления изменяющие направление потока: плавные и резкие повороты трубопровода (колена).

2. Сопротивления изменяющие размеры живого сечения потока: резкое сужение и резкое расширение

3. Различного рода запорные устройства (краны, вентили, задвижки и т.д.) и дополнительная арматура на трубопроводе (сетки, змеевики и т.д.)

4. Сопротивления связанные с отделением или присоединением части потока.

Опредляются потери в местных сопротивлениях по формуле Вейсбаха:

h_м = ζ U²/2g, где ζ – коэффициент местного сопротивления.

Этот коэффициент зависит от вида местного сопротивления и его размеров (помещены коэффициенты в гидравлических справочниках)

Лишь для резкого расширения в 1748 году Борда получил теоретическую зависимость для определения потерь напора:

h_{p . p} = (U₁ – U₂) / 2g, где U₁ – скорость в узком сечении, U₂ – в широком; (U₁ – U₂) – называют потерянной скоростью.