Нормировка векторов состояний, принадлежащих дискретному и непрерывному спектру. Плотность числа состояний в непрерывном спектре.
Физически реализуемые состояния замкнутых квантовых систем описываются ВФ, принадлежащими дискретному спектру наблюдаемых. Так как квадрат модуля таких ВФ имеет смысл вероятности (плотности вероятности), то они должны быть нормированы на единицу. Если дополнительно потребовать ортогональности разных СФ используемого базиса, оба требования можно записать в виде:
.
ВФ непрерывного спектра не описывают физически реализуемы состояния, но в некоторых задачах их удобно использовать в качестве базиса для разложения нормированных на единицу ВФ. В этом случае для них используют условие ортонормировки на дельта-функцию:
.
Непрерывный спектр можно рассматривать как квазиклассический предел дискретного спектра. Тогда число состояний в элементе спектра должно быть конечно, и оно определяется по правилу: элементу классического фазового объема отвечают
квантовых состояний точечной частицы со спином s.
Чистые и смешанные состояния. Оператор (матрица) плотности.
Для незамкнутой квантовой системы можно строить ее описание, проводя усреднение по влиянию неконтролируемых внешних факторов. В этом случае теряется возможность сопоставления состояниям системы векторов состояний (ВФ) – от «чистых» состояний необходимо перейти к «смешанным», которым сопоставляются операторы плотности. Эти операторы можно определить, задав для них следующий набор свойств:
эрмитовость:
,нормировка:
,неотрицательная определенность:
,
.
Для чистых состояний соответствующий оператор плотности является проектором на вектор состояния и удовлетворяет требованию
.
Оператор плотности смешанного состояния может быть представлен в виде комбинации проекторов на вектора некоторого набора состояний с весовыми коэффициентами, имеющими смысл вероятностей того, что результат измерения в смешанном состоянии будет совпадать с результатом измерения в соответствующем чистом состоянии.
Среднее значение наблюдаемой в смешанном состоянии вычисляется по формуле:
.
Линейный гармонический осциллятор: спектр, собственные функции, повышающий и понижающий операторы.
Линейный гармонический осциллятор – система с гамильтонианом
.
Соответствующий спектр является дискретным, невырожденным и эквидистантным:
.
Удобно описывать осциллятор в представлении понижающих и повышающих операторов:
,
действие которых на СВ гамильтониана описывается формулами:
.
Орбитальный момент количества движения: коммутационные соотношения, спектр и собственные функции.
Оператор орбитального момента в квантовой теории удобно определять в безразмерной форме:
Разные компоненты орбитального момента одновременно не измеримы, но возможно одновременное измерение квадрата орбитального момента и его проекции на одну из осей, так как
.
Собственными
функциями оператора момента называют
общие собственные функции операторов
.
Собственные значения этих операторов
,
а соответствующие СФ в сферической системе координат
.