2. Уравнение электрического состояния цепи (Закон Ома и Кирхгофа). Примеры расчета электрических цепей. Параметры электрических цепей. Баланс мощностей.

З акон Ома для пассивного участка цепи.

I=U/R сила тока,[A] прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению.U=I*R [B] Падение напряжения. Вольтметр включён параллельно участку цепи. Внутренне напряжение в точке А меньше чем в точке Б.

З акон Ома для Активного участка цепи.

обобщённый закон Ома:

За положительным направлением напряжения приёмника принято направление совпадающим с выбранным положительным направлением тока.

U =10B Е=20В R=50M

Закон Киргофа: 1-й закон. Алгебраическая сумма токов в узле равна 0.

+ выходящие токи из узла

- входящие токи в узел

a = I1-I2+I3+I4+ I 5=0

2-й закон. В любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжения ветвей равна 0.

;

Алгебраическая сумма ЭДС замкнутого контура= алгебраической сумме падения напряжения в этом контуре ,U=IR.

Примеры расчета электрических цепей.

Дано:E1,E2,R1,R2,R3

Найти: токи в ветвя х.

Произвольно выбираем направление тока в ветви. . Применим законы Кирхгофа.

По I-му Зн Кирхгофа, составляется на одно Ур-е меньше,чем узлов: a=I1=I2+I3

Оставшиеся два Ур-я сот по II Зн Кирхгофа:

1-й контур (параллельное соед.)

2-й контур

(последовательное соед.)

Для проверки правильности расчетов составляют баланс мощностей. ΣEI = Σ I²R

Мощность источника=мощности приемника ( )

[Вт]; может работать в разных режимах( в режиме генератор; в режиме потребления энергии)

Параметры электрических цепей. При расчете электрических цепей учитывают сопротивление проводников. Эти параметры характеризуют процесс противодействия проводника прохождения по нему электрического тока. Установлен что сопротивление проводника зависит от его размера и температуры. Зависимость сопротивления проводника от размеров выражается формулой r=ρ*l/S, где ρ-удельное сопротивление, характеризующее материал проводника; l-длинна проводника; s-площадь его поперечного сечения.

В цепях постоянного тока величины, обратную сопротивлению, называется электрической проводимостью( [См]). Величина обратная удельному сопротивлению называется удельной электропроводимостью. Зависимость сопротивления от температуры описывается формулой , где r0 сопротивление проводника при начальной температуре t0. R=[Ом]. α-температурный коэф. Сопротивления, равный относительному изменению сопротивления при изменению температуры на один градус Цельсия. t- конечная температура.

3. Методы расчета электрических цепей. Метод контурных токов, узловых потенциалов, наложения и двух узлов. Примеры расчета сложных цепей.

Методы расчета электрических цепей.

Классификация цепей: 1по роду тока: (постоянные, переменные); 2 по характеру элемента (линейные - если его параметры (сопротивление, индуктивность, емкость) не зависят от тока, или напряжения, протекающих в цепи; нелинейные); 3.наличие или отсутствие активного элемента (активная; пассивная);4кол-во ист энергии в цепи(1-простая; от 2-сложная), неразветвленные(один контур) и разветвленные.

Принцип расчета: описание ур-ий, связ-щих переменные в цепи, математическими методами и решения этих ур-ий относит искомых электрич величин(I и U). Для записи ур-ий надо показать условно-положительные направления для всех токов и напряжений схемы. Обычно даны: пар-ры ист энергии и эл-ов цепи. В ряде случаев исход схему предварит упрощают, используя эквивалентные преобраз-я.

Метод контурных токов(МКТ)

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа громоздок. Число ур-ий, составленных поМКТ, равно кол-ву ур-ний, составляемых по второму закону Кирхгофа. МКТ: вместо токов в ветвях определяются, на основании второго закона Кирхгофа, так называемые контурные токи, замыкающиеся в контурах. Основа: Зн Кирхгофа и два предложения. 1ое – В каждом контуре протекают независимые др от др расчетные токи, наз-ые контурными. 2ое – Ток каждой ветви равен алгебраической сумме контурных токов, замыкаетя ч/з эту ветвь.

Пр. На рис. 4.2 изображена двухконтурная схема, в которой I11 и I22 - контурные токи.

Рис. 4.2

Токи в сопротивлениях R1 и R2 равны соответствующим контурным токам. Ток в сопротивлении R3, являющийся общим для обоих контуров, равен разности контурных токов I11 и I22, так как эти токи направлены в ветви с R3 встречно.

Порядок расчета

Выбираются независимые контуры, и задаются произвольные направления контурных токов.

В нашем случае эти токи направлены по часовой стрелке. Направление обхода контура совпадает с направлением контурных токов. Уравнения для этих контуров имеют следующий вид:

Перегруппируем слагаемые в уравнениях

(4.4)

(4.5)

Суммарное сопротивление данного контура называется собственным сопротивлением контура.

Собственные сопротивления контуров схемы

, .

Сопротивление R3, принадлежащее одновременно 2ум контурам- общее сопротивление этих контуров.

,

где R12 - общее сопротивление между первым и вторым контурами;

R21 - общее сопротивление между вторым и первым контурами.

E11 = E1 и E22 = E2 - контурные ЭДС.

В общем виде уравнения (4.4) и (4.5) записываются следующим образом:

,

У собственных сопротивлений знак "плюс".

Общее сопротивление имеет знак "минус", если в данном сопротивлении контурные токи направлены встречно друг другу, и знак "плюс", если контурные токи в общем сопротивлении совпадают по направлению.

Решая уравнения (4.4) и (4.5) совместно, опре контурные токи I11 и I22, затем от контурных токов переходим к токам в ветвях.

Ветви схемы, по кот протекает один контурный ток, наз внешними, а ветви, по кот протекают несколько контурных токов, наз общими. Ток во внешней ветви совпадает по величине и по направлению c контурным. Ток в общей ветви равен алгебраической сумме контурных токов, протекающих в этой ветви.

В схеме на рис. 4.2

.

Рекомендации

Контуры выбирают произвольно, но целесообразно выбрать контуры таким образом, чтобы их внутренняя область не пересекалась ни с одной ветвью, принадлежащей другим контурам.

Контурные токи желательно направлять одинаково (по часовой стрелке или против).

Если нужно определить ток в одной ветви сложной схемы, необходимо сделать его контурным.

Если в схеме есть ветвь с известным контурным током, его следует сделать контурным, благодаря чему кол-во ур-ий станет на единицу меньше.

Метод узловых потенциалов

Этот метод позволяет уменьшить число совместно решаемых Ур-ий до зн-я (у-1), где у – число узлов. Основа: приминение I Зн Кирхгофа и заключ в следующем: Один из узлов в схеме цепи принимается базисным с нулевым потенциалом. Для ост-ых узлов сост-ем ур-е по I Зн Кирхгофа, выражая токи ветвей ч/з потенциалы узлов. Решением системы опред пот-лы узлов отн-но базисного, a затем опр токи ветвей по обобщенному закону Ома.

Пр. В схеме четыре узла.

Потенциал любой точки схемы можно принять равным нулю. Тогда у нас останутся неизвестными три потенциала. Узел, величину потенциала кот выбирают произвольно, наз базисным. Укажем в схеме произвольно направления токов. Примем для схемы φ4 = 0.

Запишем ур-ние по I Зн Кирхгофа д/узла 1.

(4.6)

В соответствии с законами Ома для активной и пассивной ветви

где - проводимость первой ветви.

, где - проводимость второй ветви.

Подставим выражения токов в уравнение (4.6).

(4.7)

где g11 = g1 + g2 - собственная проводимость узла 1.

Собственной проводимостью узла называется сумма проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле.

g12 = g2 - общая проводимость между узлами 1 и 2.

Общей проводимостью называют проводимость ветви, соединяющей узлы 1 и 2.

- сумма токов источников, находящихся в ветвях, сходящихся в узле 1.

Если ток источника направлен к узлу, величина его записывается в правую часть уравнения со знаком "плюс", если от узла - со знаком "минус".

По аналогии запишем для узла 2:

(4.8)

для узла 3:

(4.9)

Решив совместно уравнения (4.7), (4.8), (4.9), определим неизвестные потенциалы φ1, φ2, φ3, а затем по закону Ома для активной или пассивной ветви найдем токи.

Если число узлов схемы - n, количество ур-ний по методу узловых потенциалов - (n - 1).

Замечание.

Если в какой-либо ветви содержится идеальный источник ЭДС, надо один из двух узлов, между которыми включена эта ветвь, выбрать в качестве базисного, тогда потенциал другого узла окажется известным и равным величине ЭДС. Кол-во составляемых узловых уравнений становится на одно меньше.

Принцип суперпозиции и метод наложения*

Принцип суперпозиции: реакция цепи или системы на суммарное воздействие

f(X₁ +Х₂ + ... + Х_n) равна сумме реакций на элементарные воздействия f(х₁) +f(х₂) + ... +f(x_n)

Принцип суперпозиции применим только к линейным цепям, а потому следующий из него метод наложения используется для анализа простейших линейных цепей с двумя или тремя источни­ками энергии. (При большем числе источников целесообразно при­менять другие методы расчета, приводящие к меньшим времен­ным затратам.)

Метод наложения: ток в любой ветви электрической цепи равен алгебраической сумме токов, создаваемых каждым источником этой цепи в отдельности.

Пр. Найдем токи ветвей, если известны следующие величины: E_ь E₂, R₁, R₂, R₃

Т ак как исходная схема содержит два источника ЭДС, то представляем ее в виде совокупности двух схем, оставляя в каждой из них только один источник. Для каждой из них любыми способами опр токи ветвей, а затем находим искомые токи исходной схемы как результат суперпозиции токов, найденных для каждой из схем в отдельности:

Рис. 1.24.

Пример применения метода наложения

I1 = I1'+I1''; I1' = E1/R1+R23;

I2 = I2'+I2''; I2' = I1' * R3/R2+R3;

I3 = -I3'+I3''; I3' = I1' + I2';

Метод двух узлов

С хема на рис. 4.4 имеет два узла. Потенциал точки 2 примем равным нулю φ2 = 0. Составим узловое уравнение для узла 1.

Рис. 4.4

где , , - проводимости ветвей.

В общем виде:

В знаменателе формулы - сумма проводимостей параллельно включенных ветвей. В числителе - алгебраическая сумма произведений ЭДС источников на проводимости ветвей, в которые эти ЭДС включены. ЭДС в формуле записывается со знаком "плюс", если она направлена к узлу 1, и со знаком "минус", если направлена от узла 1.

После вычисления величины потенциала φ1 находим токи в ветвях, используя закон Ома для активной и пассивной ветви.

4. Линейные цепи однофазного синусоидального тока. Процесс возникновения синусоидальной ЭДС в простейшем генераторе сигналов. Пар-ры sin токов и напряжений. Векторное изо электрич величин. Комплексное представление электрических величин. Законы Кирхгофа в комплексной форме. Резистивный, Индуктивн, Емкостный эл-т в цепи sin тока. Последовательное соединение этих же эл-ов. Последовательный колебательный контур. Резонанс напряжений. Параллельное соединение приемников в цепи sin тока. Параллельный колебательный контур. Резонанс токов.