6)Смешанное произведение векторов

Смешанное произведение – скалярное произведение одного вектора на векторное произведение двух других. Даёт скаляр. Записывается как (a,b,c).

Геометрический смысл: даёт объём построенного на данных векторах параллелепипеда.

Свойства:

• (a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b) (Циклическая перестановка).

• (a,b,c)=-(c,b,a) (Нециклическая перестановка).

• 

• Если какие-то два вектора коллинеарны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение, равное нулю.

• Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.

7)Плоскость, плоскость в трёхмерном пространстве

Способы задать плоскость:

• Три точки.

• Точка и нормаль.

• Две прямые.

Формы записи плоскости:

• В отрезках на осях:

Где a,b,c – координаты пересечения осей плоскостью.

• Векторная запись:

(r-r₀)N=0

Где r и r₀ – радиус вектора некоторых принадлежащих плоскости точек, а N – нормаль вектор.

• Проходящей через некую точку:

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)+D=0

Где (A,B,C) – координаты нормаль вектора.

• Общее:

Ax₀+By₀+Cz₀+D=0

Где (A,B,C) – координаты нормаль вектора.

Угол между двумя плоскостями можно найти по следующей формуле:

Условие параллельности двух плоскостей:

Где A,B,C – координаты нормалей.

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

Данные условия необходимы и достаточны.

8)Прямая, прямая в трёхмерном пространстве

Способы задать прямую:

• Через точку и ненулевой вектор.

• Через две точки.

Формы записи прямой:

• Векторная

r=r₀+S

Где r и r₀-радиус векторы принадлежащих прямой точек, S – направляющий вектор.

• Параметрическая

Где (m,n,p) – координаты направляющего вектора, -параметр, нулевые xyz – координаты некой точки, принадлежащей прямой.

• Каноническая

Где (m,n,p) – координаты направляющего вектора, нулевые xyz – координаты некой точки, принадлежащей прямой.

• Через две точки

Где первые и вторые xyz – координаты принадлежащих прямой точек.

Угол между двумя прямыми можно найти по следующей формуле:

Где mnp – координаты направляющих векторов.

Условие параллельности двух прямых:

Где mnp – координаты направляющих векторов.

Где mnp – координаты направляющих векторов.

Данные условия необходимы и достаточны.

9)Плоскость и прямая в трёхмерном пространстве

Относительно плоскости прямая может:

• Пересекать плоскость

• Быть ей параллельной

• Быть ей перпендикулярной

• Принадлежать ей

Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и её проекцией на плоскость.

Формула угла между прямой и плоскостью:

Где (A,B,C) – координаты нормали плоскости, (m,n,p) – направляющий вектор прямой.

Необходимое и достаточное условие параллельности прямой и плоскости:

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямой плоскости:

10)Прямая на плоскости

Формы записи прямой:

• Каноническая

• Общая

Ax+By+C=0

• С угловым коэффициентом

Формула угла для двух прямых на плоскости:

11)Кривые второго порядка

Общее уравнение кривой второго порядка:

Где хотя бы один из параметров A,B,C не равен нулю.

Эллипс

Частный случай эллипса - круг.

Такая замкнутая кривая, что сумма расстояний от любой её точки до двух фокусов одинакова и равна 2а.

Формула эллипса (каноническая):

Где b²=a²-c², а и b – большая и малая полуоси, c – полурасстояние между фокусами.

Где – эксцентриситет (0< <1).

Уравнение касательной:

Гипербола

Такая кривая, что модуль разности расстояний от любой её точки до двух фокусов является величиной постоянной и равно 2а.

Формула гиперболы (каноническая):

Где b²=a²-c², а и b – реальная и мнимая полуоси, c – полурасстояние между фокусами.

Где – эксцентриситет ( >1).]

Асимптоты гиперболы:

Уравнение касательной:

Парабола

Множество точек на плоскости, равноудалённых от прямой (директрисы) и точки (фокусы). Каноническое уравнение:

Где p – параметр параболы.

Уравнение касательной:

12)Поверхности второго порядка

Общее уравнение кривой второго порядка:

Где хотя бы один из параметров A,B,C,D,E,F не равен нулю.

Эллипсоид

Частный случай эллипсоида – сфера (все три оси одинаковы).

Однополостный гиперболоид

Двуполостный гиперболоид

Эллиптический параболоид

Гиперболический параболоид

Цилиндр

Конус

13,14)Линейное пространство. Определение, примеры. Базис. Размерность. Разложение вектора по базису

Линейное пространство – математическая структура, которая формируется векторами.

В любом линейном пространстве есть 2 операции:

1. Сложение. Для любой суммы векторов есть существующий в пространстве результат.

2. Умножение на скаляр. Для любого умноженного на скаляр вектора есть существующий в пространстве результат.

На операции накладываются следующие условия:

1. 1x=x

2. x+y=y+x

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

В каждом пространстве существует некоторая размерность – максимально возможный набор линейно независимых векторов. Любой другой вектор можно получить набором этих векторов, причём только одним.

Базис же является совокупностью этих векторов.

Примером линейных пространств можно привести двухмерное и трёхмерное Декартовы xyz.