Билет№2.24

Пусть функция (t) непрерывна в точке t₀ и функция f(x) непрерывна в точке х₀=(t₀). Тогда функция f((t)) непрерывна в точке t₀.

Доказательство.

Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем Выписывая подчеркнутые кванторы, получим, что ,что и говорит о том, что f((t)) непрерывна в точке t₀. Обратите внимание на следующие детали:

а) т.к. x=(t), то |(t)-(t₀)|< может быть записано как |x-x₀|<, и f(x) превращается в F((t));

б) при определении непрерывности (t) в точке t₀ в первом кванторе стоит буква . Это необходимо для согласования с квантором в предыдущей строке и взаимного уничтожения . Любая другая буква на этом месте не дала бы верного результата.

Билет№2.25

Сумма разность и т.д.

Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых ф-ий равна такой же сумме производных этих ф-ий

(u±v)`=u`± v`

Производная произведения двух дифференцируемых ф-ий равна произведению пр-ой первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на про-ую второго:

(uv)`=u`v + uv`

Постоянный множитель можно выносить за знак

производной

(cu)`=cu`

Производная произведения нескольких

дифференцируемых ф-ий равна сумме произведений

производной каждого из сомножителей на все остальные

(uvw)`=u`vw+uv`w+uvw`

Производная частного двух ф-ий u(x)/v(x), если v(x)≠0

равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя есть квадрат прежнего знаменателя: (u/v)`=(u`v-uv`)/v²; v≠0

(u/c)`=1/c*u`

(c/u)`=-cv`/v² c=const

Понятие дифференциала

Дифференциалом ф-ии наз. линейная часть приращения ф-ии (относительно Δх), равная произведению производной на приращение независимой переменной.

dy=f`(x)Δx

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Геометрический смысл: Дифференциал ф-ии есть приращение ординаты касательной, проведённой к графику ф-ии y=f(x) в данной точке когда х получает приращение Δх

Билет№2.26

(LNx)`=1/x

(eª)`=eª

Для дифференцируемой ф-ии с производной, не равной

0, производная обратной ф-ии равна обратной величине

производной данной ф-ии

X`y = 1/Y`x

(sin x)`=cos x

(cos x)`=-sin x

(tg x)`=1/cos²x

(ctg x)`=-1/sin²x

Если y=f(u) и u=φ(x) – дифференцируемые ф-ии от своих аргументов, то производная сложной ф-ии существует и равна производной данной ф-ии по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по незавмсимой переменной х

y`=f`(u)*u`

y=f(u(x)) Fx`=Fu`*Ux`

Пример:

y=(√x+5)³ y`=?

y=u³, где u=√x+5

по формуле : y`=3u`*u`=3(√x+5)²(√x+5)`=3(√x+5)²/2√x

Билет№2.28

Если функция y=f(x) имеет производную в точке x₀, а функция z=g(y) - в точке y₀= f(x₀), то сложная функция (композиция f и g) z=fi(x)=g(f(x)) также имеет производную в точке x₀, причем fi’(x₀)=g’(y₀) f’(x₀). Опуская аргумент и используя другое обозначение для производных, формулу fi’(x₀)=g’(y₀) f’(x₀) можно переписать в виде dz/dx=(dz/dy)*(dy/dx). Правило вычисления производной сложной функции распространяется на композицию любого конечного числа функций. Например, для сложной функции вида z(y(x(t))), в случае дифференцируемости функций x(t), y(x), z(y) соответственно в точках t₀, x₀=x(t₀), y₀=y(x₀), в точке t0 имеет место равенство dz/dt = (dz/dy)*(dy/dx)(dx/dt)

Билет№2.35

Теорема Коши: Пусть функции у=f(х) и у=g(х) неперырвны на отрезке [a,b],дифференцируемы хотя бы в открытом промежутке (a,b) и на этом промежутке g'(х) не обращается в нуль. Тогда существует такая точка c  (a,b), что выполняется равенство (1)

(1)

Доказательство: Вначале отметим, что знаменатель g(b)-g(a) ≠ 0,т.к. из равенства g(b)=g(a) следовало бы по теореме Ролля, что производная g'(х) обратилась бы в нуль в какой-нибудь точке промежутка (a,b), что противоречит условию g'(х)≠0. Образуем вспомогательную функцию:

К ней применима теорема Ролля: F(х) непрерывна в [a,b] и дифференцируема в (a,b) как сумма функций, непрерывных и дифференцируемых в соответствующих промежутках, кроме того, как легко проверить непосредственно, F(a)=F(b)=0. Следовательно, существует точка c  (a,b), , такая, что F'(c)=0. Вычисляем:

Подставляем x=c:

После деления на g'(х) (причем как говорилось раньше g'(х) 0), мы приходим к формуле (1)

Билет№2.36

Теорема (правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида 0/0 или ∞/∞).

Пусть функции f(x) и g(x):

А) дифференцируемы в окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, причем g’(x) ≠ 0 в этой окрестности;

Б) функции f(x) И g(x) являются одновременно либо б.м., либо б.б при x→a;

В) существует конечный lim при x→a (f(x)/g(x) = lim при x→a (f’(x)/g’(x)). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в точке а, f(a) = g(a) = 0, g’(a) ≠ 0, то lim при x→a (f(x)/g(x) = (f’(a)/g’(a))

Доказательство: Доопределим функции f(x) и g(x) в точке x=a, положив f(a)=g(a)=0. Рассмотрим отрезок между числами a и x, где точка из упомянутой в условии выколотой окрестности. Для определенности будем считать, что x<a. Обе функции на отрезке [x,a] неперывны, а в интервале (x,a) дифференцируемы, т.е. удовлетворяют условиям теоремы Коши. Следовательно, Существует такая точка с(x,a), что выполняется равенство

(1)

Так как f(a)=g(a)=0. При ха будет са, потому x<c<a

По условию теоремы существует Здесь х можно заменить любой другой буквой, в частности с. Переходя к пределу в равенстве (1) Или, что то же самое

Билет№2.37

Достаточные условия

1. предположим, что в некоторой окрестности точки х₀ существует f'(х) ( в самой точке х₀ производной может не существовать). Допустим, что с приближением к точке х₀ слева функция f(х) возрастает (т.е. f'(х)>0), а после точки х₀ убывает (т.е. f'(х)<0). Очевидно, что в точке х₀ имеется максимум. Вывод: Если в достаточно малой окрестности точки х₀ f'(х)>0 при х< х₀ и f'(х)<0 при х > х₀ , то в точке х₀ имеется максимум.

Если в достаточно малой окрестности точки х₀ f'(х)<0 при х< х₀ и f'(х)>0 при х > х₀ , то в точке х₀ имеется минимум.

2. Перейдем к формулировке достаточного условия экстремума с помощью второй производной. Предполагается, что в некоторой окрестности точки х₀ , в том числе и в самой точке х₀ , существует первая производная f'(х). Кроме того, в точке х₀ существует вторая производная f''(х₀). Исходя из выполнения необходимых условий экстремума, полагаем, что f''(х₀)=0. Посмотрим теперь на f''(х)как на первую производную от функции

Допустим, что f''(х₀)>0. Это означает, что f'(х) возрастает при переходе значений х < х₀ к значениям х > х₀ . Но f'(х₀)=0, поэтому возрастание f'(х₀)<0, при х < х₀ и f'(х₀)>0, при х > х₀ . (для значений х из достаточно малой окрестности х₀ ). В соответствии с п.1 получается минимум в точке х₀ . Аналогичное рассуждение при f''(х₀)<0 приводит к существованию максимума в точке х₀ . Вывод: если f'(х₀)=0, а f''(х₀)<0, то функция y=f(x) имеет локальный максимум в точке х₀ . Если f'(х₀)=0, а f''(х₀)>0, то функция y=f(x) имеет локальный минимум в точке х₀

Исследование графика функции

При исследовании ф-ий используется следующий алгоритм:

1 ООФ, ОЗФ

2 Непрерывность ф-ии

3 Нахождение асимптот

4 Экстремумы и интервалы монотонности

5 Интервалы выпуклости и т. перегиба

6 Чётность нечётность, периодичность

7 Т. пересечения с Ох и Оу

Если для некоторого х0 имеет место предел f(x)=∞ при

х→х0 то говорят, что х=х0 явл. вертикальн. асимптотой

f(x)

Если предел f(x)=b при x→∞ то говорят, что у=b явл.

горизонтальной асимптотой f(x)

Если предел f(x)/х=k при x→∞ (k≠0;k≠∞) и предел

(f(x)-kx)=b, то y=kx+b является наклонной асимпт-й

Если производная ф-ии положительна (отрицательна)

внутри некоторого промежутка Х то ф-ия возрастает

(убывает) на этом промежутке

Если при переходе через т. х0 производная

дифференцируемой ф-ии меняет свой знак и в т. х0

равна 0 то х0-точка экстремума (минимума или

максимума)

Точкой перегиба непрерывной ф-ии (f``(x)=0) наз. т. в

разделяющая интервалы, в которых ф-ия выпукла вниз и

вверх.

Ф-ия y=f(x) называется выпуклой внизу на интервале

(a;b) если f``(x)>0 на (a;b); ф-ия называется выпуклой

вверх на (a;b) если f``(x)<0 на (a;b)

Билет№3.10

Пусть f(x) опред. на [a;b] и ограничена. Зададим разбиение ∆ инт. [a;b], обозначим sup M_i на [x_i-1;x_i] и inf m_i на [x_i-1;x_i].

S=M₁∆x₁+M₂∆x₂+…+M_n∆x_n - верхняя сумма Дарбу.

s=m₁∆x₁+m₂∆x₂+…+m_n∆x_n – нижняя сумма Дарбу

Для каждого разбиения получается единственная пара верхних и нижних сумм Дарбу.

Св-ва:

1. Верхняя сумма Дарбу -sup инт. сумм Р для ф-ии f(x) на [a;b]. Нижняя сумма Дарбу – inf инт. сумм Р для ф-ии f(x) на [a;b].

2. При изменении разбиения S не возрастает и s не убывает.

3. Любая s не превосходит S хотя бы отвечающую и другому разбиению.

4. Множество {S} данной f(x) для любого разбиения ограничено снизу, множество {s} ограниченно сверху.

5. Пусть разбиение ∆’ сегмента [a;b] получено из разбиения ∆ добавлением к последнему p новых точек и пусть s’, S’ и s, S верхние и нижние суммы Дарбу для разбиений ∆ и ∆’, тогда для разности S-S’-s-s’ может быть получена оценка, зависимая от максимальной длинны L частичных сегментов разбиения ∆, числа P добавленных точек и точных верхних и нижних граней M и m ф-ии f(x) на сегменте [a;b] именно: S-S’≤(M-m)pL; s’-s≤(M-m)pL.

Билет№3.11

Лемма Дарбу.

Верхний I и нижний I интегралы Дарбу от ф-ии f(x) по сегменту [a;b] являются, соответственно приделом верх. и нижн. Сумм Дарбу при ∆→0

Д-во:

Докажем, что lim(∆→0)S=I для случая M=m, т.е. для случая когда f(x)=const S=I=I=s будем считать, что M>m т.к. I точная нижняя грань множества верхних сумм, то ε>0 T*є[a;b] что S* этого разбиения будет отличен от I меньше чем на ε/2: S*-I<ε/2.

∆<I=ε/(2(M-m)p), где p – число точных разбиений Т*[a;b]. T -  разбиение [a;b] и S – верхняя сумма этого Т.

Добавим к Т внутр. точки Т* => 0<S-s’≤(M-m)p∆<ε/2 (св-во 5);

I≤S’≤S*=>0≤S’-I≤S*-I => 0≤S’-I≤ε/2 => 0≤ε-I<ε

Вывод: (ε>0)(I=I(ε)>0 ): S_Т[a;b] для к-ых ∆I удовл. 0≤S-I<ε => I - предел верхних сумм. Для нижних сумм, д-во аналогично.

Критерии:

Для того, чтобы ограниченная на сегменте [a;b] ф-ия f(x) была интегрируема на этом сегменте, необх. и дост., чтобы (ε>0)(Т[a;b]), что S-s<ε.

Необходимость: Пусть f(x) инт. на [a;b], I – предел инт. сумм => (ε>0)(δ>0), что Т₁ ∆<δ:

(*) |I{x_i;ξ_i}|<ε/4, для Т выберем ξ_i’ и ξ_i’’ на каждом частичном сегменте [x_i-1;x_i], что S-I{x_i;ξ_i’}≤ε/4; I{x_i;ξ_i’’}-s≤ε/4; обе I{x_i;ξ_i’} и I{x_i;ξ_i’’} удовл. (*). S-s=(S- I{x_i;ξ_i’})+( I{x_i;ξ_i’}-I)+(I- I{x_i;ξ_i’’})+( I{x_i;ξ_i’’}-s);

S- I{x_i;ξ_i’}≤ε/4, I{x_i;ξ_i’’}-s≤ε/4; => S-s<ε.

Достаточность: I-s<ε/2, S-I<ε/2, S-s<ε, S≥I≥s => I{x_i,ξ_i} заключ. Между s и S, S-s<ε=>|I{x_i,ξ_i}-I}<ε.

Билет№3.12

F(x) наз. равномерно непрерывной на интер. {x}, если для (ε>0)(δ(ε)>0), что для x’,x’’є{x} уд. усл. |x’’-x’|<δ => |f(x’’)-f(x’)|<ε

Т Кантера: Нерп. На сегменте [a;b] f(x) равном. непрер. на этом сегменте.

Д-во: Предположим, что непр. [a;b] f(x) не явл. равном. непрер. на [a;b]. Тогда для некоторого ε>0 не выполнятся условия сформулированные в определении равном. непрер. Это означает, что для указанного ε>0 и >δ на [a;b] найдутся точки х’ и х’’, такие что |x’’-x’|<δ но |f(x’’)-f(x’)|≥ε. Поэтому для каждого δ=1/n, n=1…∞, найдутся x_n’ и x_n’’ сегм. [a;b] такие что |x’’-x’|<1/n но |f(x’’)-f(x’)|≥ε т.к. {x_n’} последовательность точек сегмента [a;b] то из неё, согласно теореме Больцано-Вейрштрасса можно выделить сход. некот. т. с этого сегмента подпосл. {x_kn’}, очевидно подпосл. {x_kn’’} посл. {x_n’’}→с, т.к. ф-ия f(x) непр. в т. с. nо lim посл. {f(x_kn’)} и {f(x_kn’’)} равен f(c) и поэтому пос-ть {f(x_kn’’)- f(x_kn’)} явл. бы но этого не может быть, т.к. все эл-ты f(x_kn’’)- f(x_kn’) указ. посл. удовл. |f(x_kn’’)- f(x_kn’)|≥ε, теорема доказана.

Т. Непр. на [a;b] ф-ия f(x) интегр. На этом сечении.

Пусть дано (ε>0) в силу равном. непр. ф-ии f(x) на [a;b] для положит. ε/(b-a) можно у-ть такое δ>0 что при разбиении Т сегм [a;b] на части сегмента [x_i-1;x_i] длины ∆x_i которых <δ, колеб. ω_i ф-ии f(x) на каждом таком част. Сечении будут <ε/(b-a) (сл. Из теоремы 1) поэтому для таких разб. Т: S-s=∑ⁿ_i=1ω_i∆x_i<ε/(b-a) ∑ⁿ_i=1∆x_i=ε. Колебания (ω_i) M_i-m_i на [x_i-1;x_i].

Билет№3.20

Определение определенного интеграла по конечному промежутку [a,b] неприменимо к случаю бесконечного промежутка, например [a, +∞). Дело в том, что нельзя промежуток [a, +∞) разделить на конечное число частичных промежутков [x_i, x_i+1] конечной длины, чледовательно, нельзя составить сумму интегральную сумму. Понятие интеграла с бесконечным пределом вводится на основе понятий опредленного интеграла и понятия предела.

Определение: Предположим, что функция y=f(x) определена в промежутке [a, +∞) и интегрируема в любом промежутке [a,b] (b>a). Если существует конечный предел

То это предел называют несобственным интегралом от функции f(x) на промежутке от а до +∞ и обозначают

Аналогично определяется интеграл от -∞ до b:

Интеграл от -∞ до +∞ можно определить так:

Где с - произвольное число. Когда несобственный интеграл существует, говорят, что он существует или что он сходится. В противном случае несобственный интеграл расходится.

Билет№3.19

Теорема: при замене переменной х на t по формуле x=φ(t) равенство (1)

Справедливо при условиях:

1. φ(α) = а, φ(β) = b,

2. φ'(t) непрерывна на отрезке [α,β],

3. f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а f[φ(t)] определена непрерывна на отрезке [α,β].

Доказательство: при наших предположениях левая и правая части равенства (1) существуют и существуют первообразные подынтегральные функции. Пусть ∫f(x)dx = F(x)+C. Тогда, как легко проверить дифференцированием обеих частей, справедливо равенство ∫f[φ(t)]φ'(t)dt = F[φ(t)]+C правая часть дифференцируется как сложная функция). Применяем формулу Ньютона- Лейбница

Получаем

(по условию 1)

правые части этих двух равенств оказываются одинаковыми, следовательно, можно приравнять левые части. Приравнивая их, приходим к равенству (1). Ч.т.д.

Билет№3.18

Пусть f(x) инт. на [a;b] тогда [a,x]є[a;b]: ^x∫_af(t)dt для разл. X получ. Различные значения интеграла и получим Ф(х) которая называется ф-ией верхнего предела.

Св-ва

Если f(x) интегр. на [a;b] то Ф(х)= ^x∫_af(t)dt.

Док-во:

Фиксируем х и [x;x+∆x]є[a;b]. Покажем, что lim(∆x→0)∆Ф=0.

∆Ф=Ф(x+∆x)-Ф(x); ^x+∆x∫_af(t)dt- ^x∫_af(t)dt; ^x∫_af(t)dt+ ^x+∆x∫_xf(t)dt- ^x∫_af(t)dt; ∆Ф= ^x+∆x∫_xf(t)dt.

Т.к. f(t) инт. на [a;b] тот она огр. на [a;b], т.е. для неё M и m, тогда по теореме о среднем μ между M и m.

Если f(x) непрерывна на [a;b] то Ф(х) диф-а при этом Ф’(х)=f(x). Покажем, что lim(∆x→0)∆Ф/∆x=f(x). ∆Ф= ^x+∆x∫_xf(t)dt т.к. f(x) интегр. на [a;b] => непр. на [x;x+∆x]; ^x+∆x∫_xf(t)dt.=f(γ)∆x; x<γ<x+∆x; lim(∆→0)∆Ф/∆x=lim(∆x→0)f(γ)∆x/∆x=lim(∆x→0)f(γ)=f(x).

Следствие:  непр. на [a;b] ф-ий имеет первообр. Одной из которых явл. ф-ия переменного верхнего предела.

Формула Ньютона-Лейбница:

Пусть F(x) -произвольная первообразная для функции f(x), заданной на промежутке [a,b]. Так как две первообразные одной и той же функции

отличаются на постоянное слагаемое, то верно равенство (1):

( в качестве числа х₀ взято число а).

В этом тождестве положим х=а и получим, Откуда С = -F(a). Формула (1) примет вид: Заменяя здесь х на b, приходим к формуле Ньютона-Лейбница:

Билет№3.17

Теорема1: Если f(x) инт. на [a;b] M и m точные грани f(x) на [a;b] то μ между М и m что выполняется: ∫f(x)dx=μ(b-a).

Д-во: Если в форм. ∫f(x)g(x)dx≤М∫g(x)dx, g(x)=1; ∫1dx>(b-a) то: m(b-a)<∫f(x)dx≤M(b-a) | :(b-a); m≤∫f(x)dx/(a-b)≤M; μ≤∫f(x)dx/(b-a) то ∫f(x)dx=μ(b-a)

Следствие: Если f(x) непр. на [a;b] то γє[a;b] что ∫f(x)dx=f(γ)(b-a).

Д-во: т.к. f(x) непр. на [a;b] то μ между М и m γє[a;b]: f(γ)=μ, по 2-й теореме Больциано-Коши.

Теорема2: Если f(x) и g(x) инт. на [a;b] хє[a;b] g(x)≥0 или g(x)≤0; M и m точные грани f(x) на [a;b] то μ между М и m что ∫f(x)g(x)dx>μ∫g(x)dx.

Д-во:

Рассмотрим нер-во: ∫f(x)g(x)≤μ∫g(x)dx.

1. Если ∫g(x)dx=0 то μ -  между М и m.

2. Если ∫g(x)dx>0 то |: на этот ∫g(x); m≤(∫f(x)g(x)dx)/(∫g(x)dx)≤M, пусть μ=∫f(x)g(x)dx/∫g(x)dx

Следствие: Если для g(x) вып. усл. Теор., а f(x) непр. на [a;b] то γє[a;b] что: ∫f(x)g(x)dx=f(γ)∫g(x)dx.