46. Интервальная оценка вероятности безотказной работы и вероятности отказа по частоте отказов при условии ее биномиального распределения.

Найдем доверительный интервал для оценки вероятности по относительной частоте, используя формулу:   

Если n достаточно велико и р не очень близка к нулю и единице, то можно считать, что относительная частота распределена приближенно по нормальному закону, причем М(W)= р. Заменив Х на относительную частоту , математическое ожидание - на вероятность, получим равенство:

Приступим к построению доверительного интервала (р1, р2), который с надежностью g  покрывает оцениваемый параметр р Потребуем, чтобы с надежностью g выполнялось соотношение указанное выше равенство:   Заменив  , получим:

Таким образом, с надежностью g выполняется неравенство (чтобы получить рабочую формулу, случайную величину W заменим неслучайной наблюдаемой относительной частотой w и подставим 1- р вместо q):

Учитывая, что вероятность р неизвестна, решим это неравенство относительно р. Допустим, что w > р. Тогда

Обе части неравенства положительны; возведя их в квадрат, получим равносильное квадратное неравенство относительно р:

Дискриминант трехчлена положительный, поэтому корни действительные и различные:

меньший корень

больший корень:

 Замечание1: При больших значениях n , пренебрегая слагаемыми

 ,и учитывая получим приближенные формулы для границ доверительного интервала :  

47. Односторонние доверительные пределы для функции надежности при биномиальном распределении и распределении Пуассона.?????????????

48. Основные понятия теории резервирования.

Если задана очень высокая надежность, приходится дублировать элементы и цепи, чтобы удовлетворить поставленным требованиям, то есть необходимо использовать резервирование. Резервированным соединением изделий называется такое соединение, при котором отказ наступает только после отказа основного и всех резервных изделий. Основным параметром резервирования является его кратность. Под кратностью резервирования m понимается отношение числа резервных изделий к числу резервируемых (основных). Различают резервирование с целой и дробной кратностью. При резервировании с целой кратностью величина m есть целое число, при резервировании с дробной кратностью величина m есть дробное несокращаемое число. Например, m=4/2 означает наличие резервирования с дробной кратностью, при котором число резервных элементов равно 4, число основных 2, а общее число элементов равно 6.  Основы теории резервирования. В расчетах надежности системы используются основные правила теории вероятностей:1) Если А и В – два независимых события, вероятности которых Р(А) и Р(В), то вероятность того, что имеют место оба события, равна произведению  Р(АВ) = Р(А)·Р(В). (2.6) 2) Если достаточно, чтобы из двух совместимых событий произошло хотя бы одно – или А, или В, или же оба вместе, то  Р(АVВ) = Р(А)+Р(В)-Р(А)·Р(В) (2.7) 3) Если события несовместимы, то есть когда происходит одно, другое не может произойти, то формула (2.7) упрощается: Р(АVВ) = Р(А)+Р(В) (2.8) 4) Если два события не только не совместимы, но и противоположны, то есть когда не происходит А, происходит  , и наоборот, из (2.8) получаем Р(А) + Р(В) = 1. (2.9) Предполагая отказы элементов независимыми, получаем следующие основные формулы для расчетов надежности комбинации из двух и более элементов.  1) Если Р1 – надежность одного элемента, а Р2 – надежность другого элемента, то вероятность того, что оба элемента будут работать безотказно в течение заданного времени t, равна  (2.10) 2) Вероятность того, что один или оба элемента откажут, равна  (2.11) 3) Вероятность того, что будут работать один или два элемента равна 4) Вероятность, что откажут оба элемента, равна