5. Момент сили відносно точки та осі.

Моментом сили відносно осі називається проекція на цю вісь моменту сили відносно будь-якої точки, що лежить на цій осі .

З цього визначення випливає, що моменти сил відносно координатних осей обчислюються за формулами . Ці формули, зокрема, показують, що момент сили відносно осі не залежить від вибору точки на осі.

При розв'язуванні конкретних задач моменти сил відносно осей зручно обчислювати більш наглядним способом за таким правилом.

1. Проводимо довільну площину N, перпендикулярну до осі Оz, і знаходимо точку О перетину цієї площини з віссю.

2. Проектуємо силу F на зазначену площину.

3. Обчислюємо момент проекції F1 сили F на цю площину відносно точки О:

Мz(F) = Мo(F1).

При цьому момент сили відносно осі вважається додатним, якщо спостерігач бачить з боку додатного напряму осі Оz, що сила F1 намагається повернути тіло навколо осі Оz проти ходу годинникової стрілки.

Чисельне значення моменту сили відносно осі Оz можна вира-

зити подвоєною площею трикутника ОаЬ, що лежить у площині N.

З визначення моменту сили відносно осі випливає, що він дорівнює нулю, якщо лінія дії сили і вісь лежать в одній площині.

Моментом сили F відносно точки О (центра) називається вектор, що дорівнює векторному добутку радіуса-вектора г , проведеного з центра О в точку А прикладення сили, на вектор F:

М0(F) = rхР.

Модуль цього векторного добутку

М0(F) = rFsina.

Опустимо перпендикуляр з точки О на лінію дії сили F. Довжину цього перпендикуляра ОВ = Н назвемо плечем сили Р відносно точки О. Тоді (2.2) запишемо у вигляді

Мо{F) = hF.

Отже, момент сили відносно центра О чисельно дорівнює добутку модуля сили на плече і напрямлений перпендикулярно до площини, що проходить через точку О і лінію дії сили, в той бік, звідки "обертання" тіла під дією сили навколо точки (або най-коротший поворот вектора г до напряму вектора Р) бачить спостерігач, який перебуває на кінці вектора-моменту, таким, що відбувається проти ходу годинникової стрілки

6. Довільна система сил та умови її рівноваги.

Нехай задано довільну систему сил (f1,F2,....,Fn ), що діють на тверде тіло. Головним вектором Р цієї системи сил називається векторна сума всіх сил, які входять у систему:

F=суміFi Головним моментом такої системи сил відносно точки О (центра зведення) називається векторна сума моментів усіх сил, що входять у систему, відносно того самого центра:

Мо=суміМо(Fi)=сумі r*Fi Нехай задано довільну просторову систему сил (F1,F2,...,Fn), прикладених до твердого тіла. Доведемо таку теорему. Теорема. Для того щоб довільна просторова система сил була в рівновазі (еквівалентна нулю), необхідно і достатньо, щоб головний вектор і головний момент цієї системи відносно довільного центра зведення дорівнювали нулю. Доведення. Необхідна умова. Нехай задана система сил (F1,F2,...,Fn) перебуває в рівновазі. Потрібно довести, що тоді виконуються математичні умови. За другим твердженням основної теореми статики перетворюємо задану систему сил в еквівалентну їй систему, що складається з двох сил (Q1,Q2), які можуть бути мимобіжними. Оскільки система сил (F1,F2,...,Fn) перебуває в рівновазі та еквівалентна системі сил (Q1,Q2), то ця система також має бути в рівновазі. Це, у свою чергу, можливо лише тоді, коли виконуються всі умови аксіоми про дві сили (сили Q1 і Q2 повинні бути однакові за величиною, протилежно напрямлені і мати загальну лінію дії). Проте для такої системи її головний вектор і головний момент щодо будь-якого центра зведення очевидно дорівнюватимуть нулю, що і треба було довести. Достатня умова. Нехай задана система сил (F1,F2,...,Fn) перетворена в еквівалентну систему (Q1,Q2) для якої умови мають вигляд

Fo=Q1+Q2=0

Mo=0. Виконання першої умови означає, що сили Q1 і Q2 рівні за величиною і протилежно напрямлені. Виконання другої умови показує те, що ці сили мають спільну лінію Дії, оскільки момент пари сил Q1i Q2 дорівнює нулю. Отже, за аксіомою І про дві сили вихідна система сил еквівалентна нулю. Проектуючи векторні рівності на осі координат, дістаємо умови рівноваги довільної просторової системи сил в аналітичній формі.

Fox=cyma Fix

Foy=cyma Fiy

Foz=cyma Fiz

Mox=cyma Mox(Fi)

Moy=cyma Moy(Fi)

Moz=cyma Moz(Fi) Отже, для рівноваги довільної просторової системи сил необхідно і достатньо, щоб суми проекцій усіх сил на координатні осі та суми моментів цих сил відносно осей координат дорівнювали нулю. Таким чином, при розв'язуванні задач про рівновагу просторової системи сил, прикладених до твердого тіла, з рівнянь можна визначити шість невідомих величин.