Тема 2: «Теоремы сложения и умножения вероятностей»

Теоремы относятся к косвенным способам вычисления вероятностей сложных событий.

Если события А и В имеют общие элементарные исходы, то они называются совместными, иначе – несовместными.

Вероятность события, вычисленная в предположении (при условии), что одно или несколько событий уже наступили, называется условной вероятностью этого события и обозначается:

- условная вероятность события А относительно события В;

- условная вероятность события В относительно события А.

События А и В независимы, если их условные вероятности равны “безусловным”, т.е. если или .

Условная вероятность события может быть получена по формуле

.

Вероятность логической суммы двух совместных событий

,

для двух несовместных событий:

.

Вероятность логического произведения двух зависимых событий:

,

для n зависимых событий:

Вероятность логического произведения двух независимых событий:

.

Если требуется определить вероятность события А, которое может произойти только вместе с одним из событий

,

которые образуют полную группу и называются гипотезами, то вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

.

Если имеется полная группа несовместных гипотез , и вероятности этих гипотез до опыта (априорные вероятности) известны и равны , а в результате проведенного опыта наступило некоторое событие А, то априорные вероятности гипотез можно изменить (подправить) в связи с наступлением этого события согласно формуле Байеса:

( ).

Формула Байеса дает возможность «пересмотреть» вероятности гипотез с учетом наблюдавшегося результата опыта.

Тема 3: «Испытания Бернулли»

Испытания Бернулли – многократные повторные независимые испытания с двумя исходами и с вероятностью успеха, не меняющейся от испытания к испытанию, т.е.:

n – число испытаний;

А – наблюдаемое событие;

– вероятность наступления события А в одном испытании;

- вероятность не наступления события А в одном испытании.

Вероятность того, что наблюдаемое событие наступит ровно k раз в n испытаниях, вычисляется по формуле Бернулли:

,

где , и .

Наивероятнейшее число k₀ появлений события в n испытаниях Бернулли можно получить из неравенства:

.

При этом k₀ - целое число, и число k₀ может быть не единственным.

Тема 4: «Случайная величина»

Случайной величиной (СВ) называется такая, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Так результаты любых измерений являются случайными величинами. Все возможные значения СВ составляют полную группу событий. Случайную величину принято обозначать заглавными буквами конца латинского алфавита, например, , а ее возможные значения – соответствующими малыми буквами с индексами.

Случайная величина называется дискретной (ДСВ), если ее возможные значения принимают отдельные изолированные значения и их все можно указать заранее численно (если их число конечно). Число возможных значений ДСВ может быть конечным и бесконечным.

Непрерывной (НСВ) называется такая СВ, возможные числовые значения которой принципиально нельзя указать заранее, а можно лишь назвать границы ее изменения, т.е. отрезок [a;b], на котором находятся все ее возможные значения. Число возможных значений НСВ всегда бесконечно.

Исчерпывающей характеристикой СВ является ее закон распределения, т.е любое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями этой величины и соответствующими им вероятностями. Про СВ говорят, что она подчинена данному закону распределения.

Закон распределения ДСВ можно задать численно, графически и аналитически.

Численно – в виде ряда распределения, оформленного таблицей:

xi	x1	x2	…	xn
pi	p1	P2	…	pn

где x_i - возможные значения СВ, а p_i – их вероятности. При этом , как вероятность полной группы событий.

Графически – в виде многоугольника распределения, построенного по данным ряда распределения.

Аналитически – в виде формулы, позволяющей вычислять вероятности p_i отдельных значений СВ в зависимости от x_i – т.е. от самих этих значений.

Для НСВ вероятность отдельного значения теоретически равна нулю, но в общем случае отлична от нуля вероятность ее попадания в некоторый интервал. Поэтому вместо вероятностей отдельных значений вычисляются вероятности попадания НСВ в соседние интервалы, на которые разбита вся область ее возможных значений, т.е. весь отрезок [a;b].

Для НСВ возможен только аналитический способ задания закона ее распределения в форме функции распределения (интегральной функции):

или в форме плотности вероятности (дифференциальной функции):

.

Обратная связь:

.

При этом или – это основное свойство плотности вероятности: свойство нормировки.

Вероятность попадания СВ на заданный интервал вычисляется по формулам:

- через функцию распределения;

- через плотность вероятности.

График функции распределения имеет одинаковый внешний вид для всех законов распределения, а график плотности вероятности, называемый кривой распределения, для всех законов распределения различен.