24)Ортогональность векторов. Ортогональные и ортонормированный базисы.

Определение: В Rn (Cn) векторы и называются ортогональными (перпендикулярными ), если их скалярное произведение < ; > = 0

Замечание: Ясно что ортогонален любому другому.

Теорема: Множество ненулевых попарно ортогональных векторов линейно независимо.

Докоз-во: {a1, a2, a3, … an} , (|| || )

_i,j < >=0, при i

<c₁ +…+c_{m m}, >=0 умножаем на a_i

<c₁ +…+c_{m m}, a_i>=0

<c₁ , a_i> + ….+ c_{m m}, a_i>=0

c₁< ₁, _i> + … + c_i< _i, _i> + … + c_m< _m, a_i> = 0

c_i< _i, _i> = 0 c_i * || _i||² = 0 c_i=0

Поскольку i – любое число от 1 до m с_i, I = 1, 2, 3, … m. c_i = 0 ч.т.д

Следствие: Множество из n ненулевых попарно ортогональных векторов в пространстве Rn (Cn) образует базис этого пространства. Такой базис называют ортогональным базисом. Если в ортогональном базисе норма каждого вектора равна 1, то такой базис называют ортонормированным

25) Разложение векторов по ортогональному (ортонормированному) базису. Коэффициенты Фурье.

{ ₁, ₂, ₃, … _n} – базис,

Пусть базис ортогональный Cⁿ(Rⁿ); пусть Cⁿ(Rⁿ);

Разложение вектора по данному базису:

= c_{1 1} + c_{2 2} + … + c_{n n} Умножение скаляр. На _k

< _{1 k}> = <c_{1 1} + c_{2 2} + … + c_{n n}, _k>

< _{1 k}>= c_k < _{k k}> - c_k * ||a_k||² => c_k = , k=1,2,3…n

Коэффициенты C_k вычисляемые по данной формуле называется коэффициентом Фурье разложение вектора по ортогональному базису { ₁, ₂, ₃, … _n} Если базис ортонормирован, то формула принимает вид: c_k= < ₁, _k>, k=1,2,3…n

28) Квадратичные формы. Приведение к каноническому виду. Классификация квадратичных форм.

Определение 10.1. Квадратичной формой действительных переменных х₁, х₂,…,х_n называется многочлен второй степени относительно этих переменных, не содержащий свободного члена и членов первой степени.

Примеры квадратичных форм:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Напомним данное в прошлой лекции определение симметрической матрицы:

Определение 10.2. Квадратная матрица называется симметрической, если , то есть если равны элементы матрицы, симметричные относительно главной диагонали.

Свойства собственных чисел и собственных векторов симметрической матрицы:

1)      Все собственные числа симметрической матрицы действительные.

Доказательство (для n = 2).

Пусть матрица А имеет вид: . Составим характеристическое уравнение:

(10.2) Найдем дискриминант:

 следовательно, уравнение имеет только действительные корни.

2)      Собственные векторы симметрической матрицы ортогональны.

Доказательство (для n = 2).

Координаты собственных векторов  и  должны удовлетворять уравнениям:

 Следовательно, их можно задать так:

. Скалярное произведение этих векторов имеет вид:

 По теореме Виета из уравнения (10.2) получим, что  Подставим эти соотношения в предыдущее равенство:  Значит, .

Замечание. В примере, рассмотренном в лекции 9, были найдены собственные векторы симметрической матрицы и обращено внимание на то, что они оказались попарно ортогональными.

Определение 10.3. Матрицей квадратичной формы (10.1) называется симметрическая матрица . (10.3)

Таким образом, все собственные числа матрицы квадратичной формы действительны, а все собственные векторы ортогональны. Если все собственные числа различны, то из трех нормированных собственных векторов матрицы (10.3) можно построить базис в трехмерном пространстве. В этом базисе квадратичная форма будет иметь особый вид, не содержащий произведений переменных.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Определение 10.4. Каноническим видом  квадратичной формы (10.1) называется следующий вид: . (10.4)

Покажем, что в базисе из собственных векторов квадратичная форма (10.1) примет канонический вид. Пусть

- нормированные собственные векторы, соответствующие собственным числам λ₁,λ₂,λ₃ матрицы (10.3) в ортонормированном базисе . Тогда матрицей перехода от старого базиса к новому будет матрица

. В новом базисе матрица А примет диагональный вид (9.7) (по свойству собственных векторов). Таким образом, преобразовав координаты по формулам:

,

получим в новом базисе канонический вид квадратичной формы с коэффициентами, равными собственным числам λ₁, λ₂, λ₃:

. (10.5)

Замечание 1. С геометрической точки зрения рассмотренное преобразование координат представляет собой поворот координатной системы, совмещающий старые оси координат с новыми.

Замечание 2. Если какие-либо собственные числа матрицы (10.3) совпадают, к соответствующим им ортонормированным собственным векторам можно добавить единичный вектор, ортогональный каждому из них, и построить таким образом базис, в котором квадратичная форма примет канонический вид.

Пример.

Приведем к каноническому виду квадратичную форму

x² + 5y² + z² + 2xy + 6xz + 2yz.

Ее матрица имеет вид  В примере, рассмотренном в лекции 9, найдены собственные числа и ортонормированные собственные векторы этой матрицы:

 Составим матрицу перехода к базису из этих векторов:

(порядок векторов изменен, чтобы они образовали правую тройку). Преобразуем координаты по формулам:

  ^. Получим:

Итак, квадратичная форма приведена к каноническому виду с коэффициентами, равными собственным числам матрицы квадратичной формы.

29) Многочлены. Деление многочленов. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на линейные множители.

31) Рациональные дроби. Разложение правильной вещественной рациональной дроби в сумму простейших дробей.

21) Пространства Cn и Rn. Базис. Разложение вектора по базису.

22) Скалярное произведение в Cn и Rn

26) Собственные числа и векторы квадратной матрицы.

27) Собственные числа и векторы самосопряженной (симметричной) матрицы. Собственный базис.

30) Вещественные многочлены. Разложение на вещественные множители.