4. Сложение колебаний.

Колебания могут складываться и при этом усиливать или гасить друг друга, или изменять траекторию движения тела. Рассмотрим сложение колебаний, совершаемых в одном направлении. Пусть осциллятор совершает два одновременных колебания в одном направлении и одинаковой частоты ω₀:

x₁=A₁cos(ω₀t+a₁) и x₂=A₂cos(ω₀t+a₂).    

При этом суммарное колебание координаты x(t) равно x = x₁ + x₂.  Представим колебания x₁ и x₂ в виде векторов на плоскости (рис.), модулями которых являются амплитуды колебаний, а фазы колебаний будут служить углами наклона векторов к оси x. При изменении времени векторы x₁ и x₂, будут равномерно вращаться в плоскости рисунка, однако разность фаз между колебаниями остается неизменной. Из рисунка видно, что вектор x = x₁ + x₂, представляет собой сумму колебаний x₁ и x₂. В самом деле, проекции векторов x₁, и x₂, на ось x соответственно равны A₁cos(ω₀t+a₁) и А₂cos(ω₀t+a₂), а проекция вектора x равна сумме этих проекций. Результирующее колебание также можно записать в виде: x(t)=x₁+x₂= = Acos(ω₀t+a). Частота результирующего колебания равна частоте складываемых колебаний, т. е. результирующее колебание также гармоническое. Амплитуду результирующего колебания нетрудно найти из рис.

,                               (3.15)

а новую начальную фазу определить так:

.                                             (3.16)

Из формулы (3.15) следует, что амплитуда результирующего колебания существенно зависит от значения разности фаз начальных колебаний. Если разность фазa₁–a₂=0, колебания находятся в фазе, и амплитуды A₁ и A₂ складываются A = A₁ + A₂. Если же разность фаз равна ±p, колебания находятся в противофазе, т.е. амплитуда результирующего колебания A = |A₁ – A₂|.

5. Затухающие свободные колебания.

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида   в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний   или её квадрата.

6. Вынужденные колебания. Резонанс.

Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени. Наиболее простой и содержательный пример вынужденных колебаний можно получить из рассмотрения гармонического осциллятора и вынуждающей силы, которая изменяется по закону:  .

Второй закон Ньютона для такого осциллятора запишется в виде:  . Если ввести обозначения:   и заменить ускорение на вторую производную от координаты по времени, то получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

Решением этого уравнения будет сумма общего решения однородного уравнения и частного решениянеоднородного. Общее решение однородного уравнения было уже получено здесь и оно имеет вид:

,

где   — произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий.

Найдём частное решение. Для этого подставим в уравнение решение вида:   и получим значение для константы:

Тогда окончательное решение запишется в виде:

Резонанс. Из решения видно, что при частоте вынуждающей силы, равной частоте свободных колебаний, оно не пригодно — возникает резонанс, то есть «неограниченный» линейный рост амплитуды со временем. Из курсаматематического анализа известно, что решение в этом случае надо искать в виде:  . Подставим этот анзац в дифференциальное уравнение и получим, что :

Таким образом, колебания в резонансе будут описываться следующим соотношением: