Комплексные числа и их свойства
Комплексными числами называются выражения вида z = a + ib, где a и b – любые действительные числа, а i – мнимая единица, основное свойство которой i2= -1. Множество комплексных чисел обозначается С. Комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве от действительных, а совместно с ними. Поэтому множество действительных чисел R входят во множество С, и всякое действительное число обозначается как z = a 0i. Пример: запись 3+0i то же, что и 3; запись -4+0i значит то же, что -4.
А числа вида z = 0 +ib называют чисто мнимыми и обозначаются ib. Они получаются из комплексных чисел при a = 0.
Геометрическое изображение комплексных чисел
Действительные числа можно изобразить точками прямой линии/
Каждая точка С "числовой прямой" изображает некоторое действительное число (рациональное, если отрезок ОС соизмерим с единицей длины, и иррациональное, если несоизмерим). Таким образом, на "числовой прямой" не остаётся места для комплексных чисел.
Но комплексные числа можно изобразить на "числовой прямой". Для этого мы выбираем на плоскости прямоугольную систему координат с одним и тем же масштабом на обеих осях (рис. 1). Комплексное число a + bi мы изображаем точкой М, у которой абсцисса х равна абсциссе а комплексного, а ордината у равна ординате b комплексного числа.
Модулем
комплексного
числа z
= a
+ib
называется
длина вектора, соответствующего этому
числу; |z|
= r
= . Аргументом
комплексного
числа Z0
называется величина угла между
положительным направлением действительной
оси и вектором Z
(r).
; Аrg
z
=
+ 2πκ;
Если
Cos
= а /
=
а / r;
Sin = b / = b / r;
то воспользовавшись связью a = rcos, b = rsin, получим тригонометрическую форму записи числа: z = r(cos + i sin).
Сегодня сложно себе представить ряд наук, обходящихся без применения комплексных чисел. Такие области, как вышеуказанное самолётостроение и радиотехника, электротехника и электромеханика, компьютерное программирование и экономика невозможны без применения моделей в виде комплексных чисел. Комплексные числа, несмотря на их “лживость” и недействительность, имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике, а также в таких науках, как физика, химия. В настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии. К сожалению, их периодически исключают из школьной программы, а это один из красивейших разделов математики.
Комплексные числа сами по себе являются мощным инструментом в решении многих математических задач, справиться с которыми посредством действительных чисел слишком сложно.
В настоящее время на путях обобщения понятия числа пришли к понятию гиперкомплексных чисел. Понятие гиперкомплексного числа шире, чем понятие комплексных чисел. Простейшим примером гиперкомплексных чисел являются кватернионы, которые дали толчок развитию алгебры векторов, применяемой в современной физике и технике, в частности, в теории электричества и электротехники, в динамике, аэродинамике и теории упругости.
Комплексные числа – очень интересный предмет для изучения, дающий ключ к решению многих задач, не поддающихся рассмотрению в узких границах элементарной математики.