Непрерывность функции.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если предел функции f(x) в точке x₀ равен значению функции в этой точке f(x₀): . (40)

Если f(x) непрерывна в точке x₀, то . (41)

Все элементарные функции непрерывны на своей области определения D(y).

Точки, в которых функция не является непрерывной (не выполняется условие (41)), называются точками разрыва.

Если функция непрерывна на отрезке [a;b], то на этом промежутке она принимает свои наибольшее и наименьшее значения.

Задание для самостоятельной работы. Найти промежутки непрерывности и точки разрыва указанных функций, односторонние пределы в точках разрыва: 1) ; 2)

Производная функции.

П роизводной функции f(x) в точке x называется предел отношения приращения функции Δу к соответствующему приращению аргумента Δх, когда последнее стремится к нулю:

. (42)

Геометрический смысл производной: . Производная функции f(x) в точке x равна тангенсу угла наклона (угловому коэффициенту) касательной, проведенной к графику функции f(x) в точке М(x, f(x)).

Процесс нахождения производной функции – дифференцирование функции.

Дифференциал функции обозначается df, dy и находится по формуле ; дифференциал независимой переменной равен приращению аргумента:

Правила дифференцирования. Пусть u = u(x), v = v(x) – дифференцируемые функции в точке x (имеют производные в точке х).

1. . (43)

2. . (44)

3. . (45)

4. . (46)

5. Если , где , то производная от сложной функции находится по формуле: . (47)

Таблица производных.

1. .	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6. 7.	15.
8.	16.
9.	17.

Задание для самостоятельной работы. Найти производные указанных функций: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Исследование функции.

Схема исследования функции.

1. Найти область определения функции.

2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

3. Исследовать функцию на чётность – нечётность.

Если выполняется условие f(-x) = f(x), то функция является чётной. График функции симметричен относительно оси Оу.

Если выполняется условие f(-x) = - f(x), то функция является нечётной. График функции симметричен относительно начала координат - точки О.

Иначе функция f(x) называется функцией общего вида.

4. Исследовать функцию на непрерывность. Найти промежутки непрерывности функции, точки разрыва, односторонние пределы в точках разрыва.

5. Исследовать функцию на возрастание, убывание и экстремум с помощью первой производной .

Если на некотором промежутке, то функция на данном промежутке возрастает.

Если на некотором промежутке, то функция на данном промежутке убывает.

Если или не существует, то - критическая точка. Критическая точка может быть точкой экстремума.

Если - критическая точка и, проходя через , производная меняет знак , то - точка экстремума функции.

6. Исследовать функцию на выпуклость, вогнутость и перегиб с помощью второй производной .

Е сли на некотором промежутке, то график функции на данном промежутке вогнутый.

Если на некотором промежутке, то график функции на данном промежутке выпуклый.

Если или не существует, первая производная непрерывна в точке , а вторая производная , проходя через , меняет знак, то - точка перегиба графика функции.

7. Найти асимптоты графика функции.

Прямая - вертикальная асимптота, если . (48)

Если существуют конечные пределы , , (49)

то прямая - наклонная асимптота,

8. Построить график функции.

9. Найти область значений функции.

Задание для самостоятельной работы. Исследовать функцию и построить график .