22. Логарифмический критерий устойчивости

АФЧХ разомкнутой системы подразделяются на два типа:

АФЧХ первого рода, все точки, пересечения которых с вещественной осью расположены справа от критической точки (кривая 1, рис. 1);

АФЧХ второго рода, точки, пересечения которых с вещественной осью расположены как справа, так и слева от критической точки (кривая 2, рис. 1).

Рисунок 1 - Типы АФЧХ

Для того чтобы система, устойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая АФЧХ первого рода, была устойчивой и в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы при всех частотах, при которых ЛАХ положительна, значения фазовой характеристики были больше, чем -, т.е. _с<_.

Для того, чтобы САУ неустойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая АФЧХ 2-го рода, была устойчивой в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов фазовой характеристикой через линию - была равна р/2, где р- число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости, при всех частотах когда L()>0.

23.Выделение области устойчивости. Область устойчивости в теории автоматического управления принято называть D – областью, а представление области параметров в виде областей устойчивости и неустойчивости называют D – разбиением.Построение области устойчивости по алгебраическим критериям.Допустим, что коэффициенты характеристического уравнения зависят от двух изменяемых параметров  и . Для построения области устойчивости прежде всего нужно, в соответствии с необходимым условием устойчивости, выделить область изменяемых параметров при нахождении в которой, коэффициенты характеристического уравнения положительны. Это можно сделать, решив систему уравнений Для построения границы положительности коэффициентов а_i необходимо из решений уравнений выбрать те, которые обеспечивают положительность всех коэффициентов. Из всех границ положительности только две одновременно могут быть и границами устойчивости. Такими являются границы, уравнениями которых являются Доказано, что если d₀ и d_n приблизятся к нулю, то характеристическое уравнение будет иметь два действительных корня

При дальнейшем уменьшении коэффициенты d₀ и d_n перейдут через ноль, станут отрицательными, а корни окажутся положительными. Так как вещественные корни определяют апериодические составляющие решения дифференциального уравнения, то границы называют апериодическими границами устойчивости. На самих границах устойчивости корни равны соответственно  и 0. Стороны кривых, d_i(,)=0, примыкающие к области положительности соответствующих коэффициентов, штрихуются в сторону положительности. Может случиться так, что какой либо из коэффициентов, d₀ или d_n не зависит от изменяемых параметров. Это означает отсутствие соответствующей апериодической границы устойчивости. Колебательной границей устойчивости называется кривая в плоскости изменяемых параметров, при переходе через которую пара комплексно – сопряженных корней изменяет знак своей вещественной части на обратный. Доказано, что колебательная граница устойчивости определяется выражением

В этом выражении _n-1 – (n-1) – й определитель Гурвица. Колебательная граница устойчивости штрихуется в сторону положительности _n-1.

24. D – разбиение в плоскости одного параметра

Область устойчивости в теории автоматического управления принято называть D – областью, а представление области параметров в виде областей устойчивости и неустойчивости называют D – разбиением.

Пусть нас интересует влияние какого – либо одного параметра на устойчивость САУ и этот параметр входит в характеристическое уравнение линейно, так что это уравнение можно представить в виде

(6.3.5)

Сделав замену s= j , получим

(6.3.6)

Задавая значения частоты от - до +, можно построить кривую (), отображающую мнимую ось плоскости корней на плоскость . Эта граница D – разбиения симметрична относительно вещественной оси. Поэтому вычисления можно вести в диапазоне частот от 0 до +, а затем дополнить полученную кривую ее зеркальным отображением на диапазон частот от - до нуля. При движении по мнимой оси от - до + на плоскости корней область устойчивости остается слева. Поэтому при движении по кривой D – разбиения в сторону увеличения частоты ее штрихуют слева. Область, внутрь которой обращены штрихи, является предполагаемой областью устойчивости. Для окончательного решения, необходимо взять какое – либо вещественное значение параметра  в исследуемой области и воспользоваться каким – либо критерием устойчивости. Если при избранном значении параметра система устойчива, то рассматриваемая область является областью устойчивости.

25. D – разбиение в плоскости двух параметров

Пусть коэффициенты характеристического уравнения линейно зависят от двух параметров  и  так, что его можно записать в виде

После замены s=j получим

Так как равенство нулю всего преобразованного характеристического уравнения может выполняться только, если одновременно равны нулю его вещественная и мнимая части, то получим систему уравнений относительно изменяемых параметров

(6.3.8)

Разрешив систему (6.3.8) относительно  и , получим

где

Задавая значения частоты от - до +, определим совокупность точек на плоскости  - , образующих кривую D – разбиения. Функции () и () являются четными, и поэтому, при изменении частоты в указанных выше пределах, кривая D – разбиения пробегается дважды. При построении кривой D:

1) если в системе (6.3.8) первое уравнение получено из вещественных частей, а второе – из мнимых частей функций P(j), Q(j) и S(j) и если параметр  по написанию стоит первым, а  - вторым, то система координат должна быть правой, т.е. ось  является осью абсцисс с отсчетом положительных значений вправо, а ось  - осью ординат с отсчетом положительных значений вверх;

2)двигаясь по кривой D – разбиения при изменении частоты в сторону увеличения, ее штрихуют слева, если ()>0, и справа, если ()<0; в результате кривая штрихуется дважды с одной стороны, так как на концах кривой при =0 и = знак главного определителя () изменяется.

Может быть случай, когда при =^* 0, одновременно (^*)= =(^*)=(^*)=0. В этом случае эта система сводится к одному уравнению, определяющему на плоскости  -  прямую линию, которая называется особой прямой. Если особая прямая пересекает кривую D – разбиения в точке =^* и в этой точке определитель () меняет знак, то эта прямая также является границей устойчивости и в указанной точке изменяется направление штриховки кривой и особой прямой. Если при =^* изменение знака главного определителя не происходит, то штриховка на особую прямую не наносится. Если свободный член характеристического уравнения d_n=d_n(,), то это соответствует существованию особой прямой для =0 и ее уравнение будет

(6.3.9)

Уравнение особой прямой для = определяется выражением

(6.3.10)

Предполагаемая область устойчивости находится внутри заштрихованного участка и проверяется аналогично предыдущему. Если концевые прямые не имеют общих точек с основной кривой, то штриховка на них наносится в сторону положительности параметров.

26.

Граничный коэффициент и условие граничной устойчивости.

Говорят, что система находится на границе устойчивости или имеет место граничная или маргинальная устойчивость, если среди корней характеристического уравнения имеются нейтральные (т.е. расположенные на мнимой оси) корни и нет правых корней. Если все нейтральные корни являются нулевыми (т.е. расположены в начале координат), то говорят, что система находится на границе апериодической устойчивости, если корни являются мнимыми —система находится на границе колебательной устойчивости. Граничный коэффициент. Представим передаточную функцию разомкнутой систем в виде W(p) = (k/p^v)* W°(p), W°(0) = l.

Если при малых значениях передаточного коэффициента к замкнутая система устойчива, а с его ростом она становится неустойчивой, то значение к = /k_г, при котором замкнутая система находится на границе устойчивости, называется граничным или предельным (передаточным) коэффициентом.

Условия граничной устойчивости. Граничный коэффициент можно определить с помощью условий граничной устойчивости, которые мы здесь рассмотрим вкратце.

Алгебраическое условие граничной колебательной устойчивости. Система управления находится на границе колебательной устойчивости (два корня характеристического уравнения мнимые, а остальные левые), если при а₀ > 0 предпоследний определитель Гурвица равен нулю, а все определители Гурвица более низкого порядка и свободный член положительны:

Условие граничной устойчивости Михайлова. Система находится на границе устойчивости (колебательной), если ее кривая Михайлова при а₀ > 0, начинаясь с положительной вещественной полуоси, проходит через начало координат и при малой ее деформации в окрестности начала координат удовлетворяет критерию устойчивости Михайлова.

Так как, когда система находится на границе устойчивости, годограф ее характеристического вектора проходит через начало координат, то

Это условие является только необходимым условием граничной устойчивости.

Условие граничной устойчивости Найквиста. Замкнутая система находится на границе устойчивости, если АФЧХ разомкнутой системы проходит через точку и при малой ее деформации выполняется критерий устойчивости Найквиста.

Граничный коэффициент легко определяется с помощью условия граничной устойчивости Найквиста, если построен годограф характеристического вектора (т. е. АФЧХ) разомкнутой системы при некотором значении к = к'.

Пусть АФЧХ пересекает отрицательную вещественную полуось при частоте в точке А (рис. 3.11). Тогда

Из условия граничной устойчивости Найквиста имеем

Разделив это равенство на (3.22), получим