Основная теорема алгебры. Разложение на множители многочленов над :
Основна́я теоре́ма а́лгебры утверждает, что Всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел. Эквивалентная формулировка теоремы следующая: Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто.
Как представить комплексное число матрицей второго порядка:
Каждому комплексному
числу 
(С
действительными 
и 
)
Можно поставить в соответствие
квадратную матрицу 2-го
порядка вида 
.
Такое соответствие задает изоморфизм между
системой комплексных чисел и системой
матриц такого вида, если сложению,
вычитанию и умножению комплексных чисел
поставить в соответствие обычные
сложения, вычитания и умножения матриц.
Легко видеть, что в этом представлены
операции комплексного сопряжения
соответствует транспонирования
матрицы. Настоящая единица представляется
как единичная
матрица 
,
А мнимая единица - как 
.
Нетрудно проследить, что действительно вышеуказанные арифметические действия дают соответствующие результаты при выполнении их над числами и над соответствующими матрицами (что и доказывает изоморфность этих структур):
,
Что соответствует действия 
.
,
Что соответствует действия 
.
Формула Муавра:
Формула Муавра для
комплексных чисел 
утверждает,
что
для любого 
Решение двучленных уравнений:
и
:
Решение:
Изображение на комплексной плоскости корней
ой
степени из числа
.
Изобразите
:
Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление чисел в тригонометрической форме:
Та запись комплексного
числа, которую мы использовали до сих
пор, называется алгебраической
формой записи комплексного числа.
Часто бывает удобна немного другая
форма записи комплексного числа.
Пусть 
и
φ = arg z.
Тогда по определению аргумента имеем:
|
Отсюда получается z = a + bi = r(cos φ + i sin φ |
Теорема Безу:
Если
многочлен 
разделить
на двучлен x - a,
то в остатке получим число R,
равное значению данного многочлена
при x = a,
т. е. R = Pn(a).
Найти
:
Решение:
При каких
является полем, что это такое:
Найти:
Решение:
Матрицы и их свойства:
Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими.
Определители, способы вычисления:
При вычислении определителей высокого порядка (больше 3-го) определение, как правило, не используется, так как это приводит к громоздким выражениям и требует большого количества арифметических операций. Гораздо эффективнее использовать свойства определителей. Наиболее важными для вычисления определителей являются свойства 3, 6, 9. Эти свойства можно назвать элементарными преобразованиями определителя, что соответствует элементарным преобразованиям матрицы.
I. Перестановка двух столбцов (строк) определителя приводит к изменению его знака на противоположный.
II. Умножение всех элементов одного столбца (строки) определителя на одно и то же число, отличное от нуля, приводит к умножению определителя на это число.
III. Прибавление к элементам одного столбца (строки) определителя соответствующих элементов другого столбца, умноженных на одно и то же число, не изменяет определитель.