5)Решение матричных уравнений
1. Рассмотрим матричное уравнение
A · X = B ,
где A — квадратная невырожденная ( det A ≠ 0 ) матрица порядка n , B — матрица размера n × m и X — неизвестная матрица.
Так как матрица A — невырожденная, то существует обратная матрица A−1 . Умножим обе части уравнения слева (операция умножения матриц некоммутативна!) на матрицу A−1 . По определению обратной матрицы, получим
( A−1 · A ) · X = A−1 · B Ю E · X = A−1 · B Ю X = A−1 · B .
Таким образом, искомое решение матричного уравнения определяется формулой
X = A−1 · B
Обратите внимание на то, что количество строк матрицы B должно быть равно порядку матрицы A .
2. Рассмотрим матричное уравнение
X · A = B ,
где A — квадратная невырожденная ( det A ≠ 0 ) матрица порядка n , B — матрица размера m × n и X — неизвестная матрица.
Так как матрица A — невырожденная, то существует обратная матрица A−1 . Умножим обе части уравнения справа на матрицу A−1 . По определению обратной матрицы, получим
X · ( A · A−1 ) = B · A−1 Ю X · E = B · A−1 Ю X = B · A−1 .
Таким образом, искомое решение матричного уравнения:
X = B · A−1 .
Обратите внимание на то, что количество столбцов матрицы B должно быть равно порядку матрицы A .
6)Базисный минор ,ранг матрицы
Минором k-го порядка матрицы называется определитель матрицы k-го порядка, образованной элементами, стоящими на пересечении произвольно выбранных строк и столбцов матрицы . Обозначая миноры, номера выбранных строк будем указывать верхними индексами, а выбранных столбцов — нижними, располагая их по возрастанию.
В матрице размеров минор r-го порядка называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры (r+1)-ro порядка равны нулю или их вообще не существует.
Рангом матрицы называется порядок базисного минора. В нулевой матрице базисного минора нет. Поэтому ранг нулевой матрицы, по определению полагают равным нулю. Ранг матрицы обозначается A.
1. Если в матрице все миноры k-го порядка равны нулю, то равны нулю и миноры более высокого порядка. Действительно, раскладывая минор (k+1)-ro порядка по любой строке, получаем сумму произведений элементов этой строки на миноры k-го порядка, а они равны нулю.
2. Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличного от нуля минора этой матрицы.
3. Если квадратная матрица невырожденная, то ее ранг равен ее порядку. Если квадратная матрица вырожденная, то ее ранг меньше ее порядка.
4. Для
ранга применяются также обозначения 
.
5. Ранг
блочной матрицы определяется
как ранг обычной (числовой) матрицы,
т.е. не обращая внимания на ее блочную
структуру. При этом ранг блочной матрицы
не меньше рангов ее блоков: 
и 
,
поскольку все миноры матрицы A (или
B)
являются также минорами блочной
матрицы 
.
7)Решение СЛАУ.т. Кронекера-капелли.
Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.
RgA = RgA*.
Решить
с помощью теоремы Кронекера-Капелли
систему уравнений:
Решение
Из последнего преобразования вытекает,
что 
.
Начальная система эквивалентна
системе:
.
Среди миноров второго порядка,
составленных из элементов матрицы
коэффициентов при неизвестных, существует
хотя бы один отличный от нуля. В нашем
случае их несколько. Если отличный от
нуля минор выберем из коэффициентов
при двух неизвестных, то таким образом
мы переведем эти неизвестные в разряд
основных. Пусть, например, это неизвестные
х1,
х2.
Тогда, перенеся остальные неизвестные
в правую часть системы уравнений,
получим:
.
Главный определитель этой системы 
.
Найдем 
.
.
По правилу Крамера
Последние равенства определяют общее
решение системы уравнений. Чтобы
получить частные решения, достаточно
предоставить свободным неизвестным
х3,
х4,
х5 некоторых
числовых значений.
Например,
если
х3 =
0, х4 =
0, х5 =
0,
имеем решение 
8) n-мерное векторное пространство
n -мерное пространство- совокупность системы из n действительных чисел . Сохраняющее свойство векторов , выходящих из начала координат.
Это векторы
a=(a1, a2 ...,an) - n
Числа a j называются компонентами вектора. Два вектора называются равными если равны их компоненты на одинаковых местах.
Векторы , выходящии из начала координат на плоскости будут двумерными векторами . Коэффиценты всякого линейного уравнения будут вектором. Строки и строки матрицы - векторы . Решение системы уравнений -вектор. Матрица тоже является mn вектором.
сумма векторов.
a+b={a+1b 1 , a2+b2 ...,an+bn)
Нулевой вектор
0={01, 02 ...,0n}
0+a=a
-a={-a1, -a2 ...,-an}
Разность векторов
a-b={a-1b 1 , a2-b2 ...,an-bn}
la={la1, la2 ...,lan}
a(c+b)=ac+ab
a(c-b)=ac-ab
k(la)=(kl)a
1*a=a
0*a=0
(-1)*a=-a
1*a=a
ka=0 если k=0 или а=0
9)Система
векторов 
называется линейно
зависимой,
если существует такой набор
коэффициентов 
,
из которых хотя бы один отличен от нуля,
что 
.
Система векторов, которая не является линейно зависимой, называется линейно независимой. Но последнее определение лучше сформулировать по другому.
Определение 10.15
Система векторов
называется линейно
независимой,
если равенство
возможно только при 