§3. Средние величины
Средние величины характеризуют значение признака, вокруг которого концентрируются наблюдения или, как говорят, центральную тенденцию распределения. Наиболее распространенной из средних величин является средняя арифметическая.
Опр. Средней арифметической вариационного ряда называется сумма произведений всех вариантов на соответствующие частоты, деленная на сумму частот:
, (6)
где
- варианты дискретного ряда или середины
интервалов интервального вариационного
ряда;
- соответствующие им частоты; т – число
неповторяющихся вариантов или число
интервалов;
.
Или,
,
(7)
где
- частости вариантов или интервалов.
Свойства средней арифметической
Средняя арифметическая постоянной равна самой постоянной.
Если все варианты увеличить (уменьшить) в одно и тоже число раз, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) во столько же раз:
.
Если все варианты увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) на то же число:
.
Средняя арифметическая отклонения вариантов от средней арифметической равна нулю:
.
Средняя арифметическая алгебраической суммы нескольких признаков равна такой же сумме средних арифметических этих признаков:
.
Если ряд состоит из нескольких групп, общая средняя равна средней арифметической групповых средних, причем, весами являются объемы групп:
где
- общая средняя (средняя арифметическая
всего ряда);
- групповая средняя
-
ой группы, объем которой равен
;
- число групп.
Кроме рассмотренных средних величин, называемых аналитическими, в статистическом анализе применяют структурные, или порядковые, средние. Из них наиболее широко применяются медиана и мода.
Опр. Медиана
- это значение, которое делит упорядоченное
множество данных пополам, или медиана
– это центральное значение упорядоченного
ряда вариант.
Если данные содержат нечетное число значений, то медиана – это центральное значение в упорядоченном ряду.
Если данные содержат четное число значений, то медиана равна полусумме двух серединных вариантов.
Для интервального вариационного ряда находится медианный интервал, на который приходится середина ряда, а значение медианы на этом интервале находят с помощью линейного интерполирования.
Замечание. Медиана может быть
приближенно найдена с помощью кумуляты
как значение признака, для которого
или
.
Достоинство медианы как меры центральной тенденции заключается в том, что на нее не влияет изменение крайних членов вариационного ряда, если любой из них, меньший медианы, остается меньше ее, а любой, больший медианы, продолжает быть больше ее. Медиана предпочтительнее средней арифметической для ряда, у которого крайние варианты по сравнению с остальными оказались чрезмерно большими или малыми.
Опр. Мода
-
это значение, которое встречается
в выборке наиболее часто.
В случае, когда все значения встречаются одинаково часто, принято считать, что выборка не имеет моды.
Когда два соседних (смежных) значения имеют одинаковую частоту и их частота больше частот любых других значений, мода вычисляется как среднее арифметическое этих двух значений.
Если два не соседних (несмежных) значения в выборке имеют равные частоты, которые больше частот любого другого значения, то выделяют две моды. Говорят, что выборка бимодальная.
Замечание. Могут существовать и так называемые мультимодальные распределения, имеющие более двух вершин (мод).
Если мода оценивается по множеству сгруппированных данных, то для нахождения моды необходимо определить группу с наибольшей частотой признака. Эта группа называется модальной.
Для интервального ряда находится модальный интервал, имеющий наибольшую частоту, а значение моды на этом интервале определяют с помощью линейного интерполирования. Но проще найти графическим путем с помощью гистограммы.
Особенность моды как меры центральной тенденции заключается в том. Что она не изменяется при изменении крайних членов ряда, т.е. обладает определенной устойчивостью к вариации признака.