Билет 4.Скалярное произведениевекторов, свойства и применение

Скалярнымпроизведениемдвухвекторовназываетсядействительноечисло, равноепроизведениюдлинумножаемыхвекторовнакосинусугламеждуними.

Скалярноепроизведениевекторов и будемобозначатькак .Тогдаформуладлявычисленияскалярногопроизведенияимеетвид , где и - длинывекторов и соответственно, а - уголмеждувекторами и .

Изопределенияскалярногопроизведениявидно, чтоеслихотябыодинизумножаемыхвекторовнулевой, то .

Векторможноскалярноумножитьнасебя.Скалярноепроизведениевекторанасебяравноквадратуегодлины, таккакпоопределению .

Скалярнымпроизведениемдвухвекторов и называетсяпроизведениедлинывектора начисловуюпроекциювектора нанаправлениевектора илипроизведениедлинывектора начисловуюпроекциювектора нанаправлениевектора .

Этоопределениеэквивалентнопервому.

Скалярнымпроизведениемдвухвекторовнаплоскостиили в трехмерномпространстве в прямоугольнойсистемекоординатназываетсясуммапроизведенийсоответствующихкоординатвекторов и .

Свойстваскалярногопроизведения.

Длялюбыхвекторов и справедливыследующиесвойстваскалярногопроизведения:

1. свойствокоммутативностискалярногопроизведения ;

2. свойстводистрибутивности или ;

3. сочетательноесвойство или , где - произвольноедействительноечисло;

4. скалярныйквадратвекторавсегданеотрицателен , причем тогда и толькотогда, когдавектор нулевой.

Этисвойстваоченьлегкообосновать, еслиотталкиватьсяотопределенияскалярногопроизведения в координатнойформе и отсвойствоперацийсложения и умножения действительных чисел.

Билет 5. Уравнениепрямой: общее, параметрическое, через 2 точки

Прямая (прямаялиния) - этобесконечнаялиния, покоторойпроходиткратчайшийпутьмеждулюбымидвумяеёточками.

ЕслипрямаяпроходитчерездветочкиA(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂), такиечтоx₁ ≠ x₂, y₁ ≠ y₂ и z₁ ≠ z₂тоуравнениепрямойможнонайтииспользуяследующуюформулу

x -x1	=	y -y1	=	z -z1
x2-x1		y2-y1		z2-z1

Параметрическиеуравненияпрямоймогутбытьзаписаныследующимобразом

	x = l t + x0
	y = m t + y0
	z = n t + z0

где (x₀, y₀, z₀) - координатыточкилежащейнапрямой, {l; m; n} - координатынаправляющеговекторапрямой.

ЕслипрямаяпроходитчерездветочкиA(x₁, y₁) и B(x₂, y₂), такиечтоx₁ ≠ x₂ и y₁ ≠ y₂тоуравнениепрямойможнонайти, используяследующуюформулу

x -x1	=	y -y1
x2-x1		y2-y1

Билет 8.Выпуклые множества и функции.Множество  -- выпуклое, есливместе с любымидвумяточками множеству принадлежатвсеточки отрезка, соединяющего в пространстве точку с точкой .Заметим, чтоотрезок, состоящийизточек ,можнопараметризоватьследующимобразом: Тогдапри будетполучатьсяточка , при  -- точка , а при  -- промежуточныеточкиотрезка, такчтообозначенияточекотрезкакак будутсогласованы с обозначениямиегоконцов.