23.2 Кубический сплайн дефекта 1. Алгоритм его построения.

Это сплайны, которые произошли от гибкой линейки чертёжника при этом в узлах непрерывна должна быть 1-ая и 2-ая производная.

уравнение изогнутой оси балки, когда заданы изгибные моменты в каждой точке. По аналогии 2-ые производные будем называть моментами.

Пусть в n попарно различных точках отрезка [a,b] a<x₁<x₂<x_3….x_n=b

y₁=f(x₁)…. Y_n=f(x_n)

непрерывен на [a,b] вместе с 1-ой и 2-ой производной, совпадает с кубическим полиномом на каждом из отрезков и удовлетворяет условиям i=1..n

Поскольку 2ая производная по условию в каждом узле непрерывна, то введя обозначения i=1,2…n и предположив, что меняется линейно на интервале можно записать (1)

Проинтегрируем дважды (1). Интегрирование будем выполнять со скобкой. Тогда после 1-го интегрирования получим (2)

А после второго интегрирования получим

(3)

Это выражение мы получили для отрезка , аналогичное выражение мы можем получить для предыдущего отрезка

(4)

Используя условие непрерывности 1-ой производной для узла x_i

Для этого приравняем (2) при x=x_i к выражению (4) при x=x_i . В результате получим

(5)

(6)

(7) i=2,3…n-1

Т.е. мы получили n-2 линейных алгебраических уравнения относительно M_i

Для замыкания этой системы нужно задать 2 дополнительных уравнения. Эти уравнения можно получить используя условие на концах интервала [a,b] (краевые условия)

1.Периодический сплайн T=b-a.

При этом предполагается, что интерполируемая функция периодическая с T=b-a и поэтому сам сплайн тоже должен быть периодическим с таким же периодом. Запишем условия периодичности:

Тогда можно потребовать, чтобы уравнение (7) было справедливо и для i=n, а условие периодичности примет вид

Тогда уравнение (7) примет вид

(8)

2.Непериодический сплайн с заданными наклонами в т a и b

заданное число

заданное число

Запишем уравнение (2) при i=1

Если записать уравнение (3) при i=n

Тогда замыкающая система примет вид

(9)

Решив системы 8 и 9 можно найти неизвестные M₁…..M_n и можем построить сплайн в соответствии с формулой (3)

В некоторых случаях более удобно записывать сплайн в виде набора коэффициентов кубических полиномов вида

, где

i=1,2..n-1

Билет 24

24.1 Задача Бюффона как пример использования методов Монте-Карло при решении детерминированных задач.

В 18в. француз Граф Бюффон прадложил для вычисления с произволбным количеством знаков использовать наблюдение за следующим процессом.

Тонкая игла длинной 2l бросается случайным образом на поверхность разлинованную с шагом 2d.

Тогда ситуация пересечение иглы с линией будет соответствовать тому, что точка с координатой ( ) будет лежать в заштрихованной области.

Рассмотрим углы от 0 до в силу симметричности.

Таким образом рассмотрим прямоугольную область .

И рассмотрим область лежащая ниже , то вероятность возникновения пересечения будет равна отношению . В математическом плане если выбираем без предпочтения координату от 0 до и координату y из интервала , то это соответствует произвольной точки , и если выполняется условие , то точка будет находиться в точке .

Величины:

=

=

Тогда .

Как известно при увеличении следует что: , где есть частота появления события. n-кол-во опытов, m-кол-во пересечений иглы с линией

При увеличении n получаем значение с большим количеством знаков.

Реализация в Mathcad: runif(a,b,N) – выдаёт n случайных величин с равномерном законом распределения. На отрезке от 0 до W – rnd(W).

Алгоритм:

1.Задать число экспериментов n и ограничить цикл от 0 до n(что будет соответствовать n опытов).

2.Обращаемся к функции runif(0, ,N).

3.Генерировать случайные величины от 0 до t.

4.Проверить выполнения неравенства . Если выполняется то n+1.

5.После проверки используем функцию