Лекція 6.Ітераційні методи розв’язання слр. Метод простої ітерації та метод ітерації Зейделя.

Метод простої ітерації

Для застосування простої ітерації рівняння представимо у вигляді:

,

(8.1)

– діагональна матриця матриці .

Рівняння (8.1) в розгорнутому вигляді:

.

(8.2)

Для зручності рівняння (8.1) запишемо у вигляді:

.

(8.3)

Процес простої ітерації міститься в послідовній підстановці у праву частину рівняння (8.3) попереднього наближення, так що на -му кроці обчислень маємо формулу:

.

(8.4)

За нульове наближення , якщо невідомі додаткові умови, приймають вектор , тобто .

В процесі ітерацій отримаємо послідовність наближень:

.

(8.5)

Як бачимо, для отримання результату розв’язання рівняння необхідно, щоб процес обчислення був збіжним, тобто значення при необмеженому збільшенні повинно прямувати до деякої границі.

Покажемо, що достатньою умовою збіжності є те, що будь-яка з норм матриці менша за одиницю.

На практиці використовують три норми матриць:

1. Найбільша сума абсолютних значень елементів матриці по рядам:

– -норма

2. Найбільша сума абсолютних значень елементів матриці за стовпцями

– -норма.

3. корінь квадратний з суми квадратів всіх елементів матриці:

– -норма.

З (8.5) можна побачити, що при прямуванні k до нескінченності, якщо прямує до нуля, а приймає значення:

Відомо, що ряд в дужках збігається, при цьому:

або

.

(8.6)

Рівняння (8.6) відповідає рівнянню (8.3), що доводить збіжність ітерації при даній умові, тобто при котра є достатньою.

Як можна бачити з (8.2) норма матриці B буде тим менша, чим більші діагональні елементи матриці А.

Швидкість збіжності простого ітераційного процесу, якщо виконати умови збіжності, оцінюється нерівністю:

, де

Таким чином метод простої ітерації має порівняно не високу швидкість збіжності, яка визначається геометричною прогресією зі знаменником .

Метод простої ітерації для аналізу електроенергетичних систем при лінійності рівнянь їх електромагнітного стану застосовується дуже рідко. Це тому, що процес ітерації має невелику швидкість збіжності, навіть у випадку застосування спеціальних засобів прискорення збіжності.

Метод ітерації Зейделя

В методі простої ітерації визначалося з рівняння (8.4) шляхом підстановки в праву частину , яке було знайдено на попередньому кроці обчислення. Таким чином, наступні наближення повністю визначаються наближенням попереднього кроку. Але ми маємо можливість при знаходженні наближення старших невідомих (наприклад ) підставляти наближення молодших невідомих, отримане не на попередньому, а на цьому кроці (тобто не ,а ). Процес ітерації можна здійснити так:

Збіжність ітерації Зейделя оцінюється, як і в випадку простої ітерації, умовами ,

,

де . Але швидкість збіжності вища, ніж простій ітерації. Метод простої ітерації та метод Зейделя не завжди забезпечують збіжність процеса обчислення. Існує спосіб перетворення систем рівнянь таку систему, для якої проста ітерація та ітерація Зейделя завжди збіжні. Для отримання першого перетворення рівняння необхідно всі рівняння перемножити на їх перші коеф. І скласти. Щоб отримати друге рівняння системи, необхідно всі рівняння вихідної системи помножити на їх другі коефіцієнти і скласти, і так далі. Таке перетворення до збіжної системи дуже громіздке і при великих розмінностях не може мати практичного застосування.