11)Вектор в декартовой системе координат, действия над векторами в координатной форме.

Определение.

Векторы   и   называются координатными векторами данной системы координат.

Определение.Представление вектора   в виде   называется разложением вектора  по координатным векторам   и   на плоскости.

Определение.Коэффициенты   и   называются координатами вектора в данной системе координат на плоскости.

Прямые x, y, z называются координатными осями (или осями координат),  точка их пересечения O – началом координат,  а плоскости xOy, xOz и yOz – координатными плоскостями.  Точка O разбивает каждую координатную ось на две полупрямые, которые называются положительной и отрицательной полуосями.

Координатой точки A по оси x будем называть число, равное по абсолютной величине длине отрезка OA_x: положительное, если точка A лежит на положительной полуоси x, и отрицательное, если она лежит на отрицательной полуоси.

Аналогично можно определить координаты y и z точки A. Координаты точки A записываются в скобках рядом с названием этой точки: A (x; y; z).

Единичным вектором или ортом называется вектор, длина которого равна единице и который направлен вдоль какой-либо координатной оси. Единичный вектор, направленный вдоль оси x, обозначается i . Единичный вектор, направленный вдоль оси y, обозначается j . Единичный вектор, направленный вдоль оси z, обозначается k . Вектора i , j , k  называются координатными векторами. Любой вектор a  можно разложить по координатным векторам:a =x i +y j +z k. Коэффициенты разложения определяются единственным образом и называются координатами вектора a  в данной системе координат.

12)Полярная система координат. Связь между полярными и декартовыми координатами.

Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.

Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается  ) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом или азимутом и обозначается  , равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.^[1]

13)Скалярное произведение векторов и его свойства

Определение скалярного произведения

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называетсячисло, равное произведению длин этих векторов на косинус угла междуними.

Обозначается ab,а* b(или( а, b)).Итак, по определению,

  

Формуле   (6.1)   можно   придать   иной   вид.   Так   как |a| cos=пр _ba, (см. рис.14), a |b| cos = пр _ab, то получаем:

      

 т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.

Свойства скалярного произведения

    1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba

  

                                                        решение    

5. Если векторы а и b(ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab=0 и а 0b, то а b

.