3. Пределы

Переменная называется бесконечно малой, если в процессе своего изменения она становится и остаётся по модулю меньше любого на период заданного числа :

— бесконечно малая величина (БМВ)

Переменная называется бесконечно большой, если в процессе своего изменения она становится и остаётся по модулю больше любого на период заданного числа :

— бесконечно большая величина (ББВ)

Число будет пределом переменной , если разница между переменной и пределом будет бесконечно малой.

Надо помнить, что:

– предел БМВ равен нулю:

– предел ББВ равен бесконечности:

Свойства пределов:

1. Предел постоянной равен самой постоянной:

2. Предел суммы равен сумме пределов (если такие пределы существуют):

3. Предел произведения равен произведению пределов (если такие пределы существуют):

4. Предел частного равен частному пределов (если такие пределы существуют, и знаменатель отличен от нуля):

5. Предел от функции равен функции от предела:

6. Предел степени равен пределу основания, возведённому в предел показателя степени:

За величину, стремящуюся к бесконечности, часто обозначают (но не обязательно).

Порядок вычисления пределов:

1. Подставить число, к которому стремится переменная, вместо x. Если возможно провести вычисление, тем самым найти ответ:

2. Чаще всего при подстановке возникают неопределённости:

   • Неопределённость вида :

Для решения предела необходимо и числитель и знаменатель разделить на x в наивысшей степени, например:

Можно увидеть, что при решении всех пределов с неопределённостью вида ответ будет равен отношению коэффициентов при переменных в наивысших степенях, т. е.

• Неопределённость вида

Для решения предела необходимо привести его к виду путём домножения предела на дробь, где и числитель и знаменатель — сопряжённые множители для предела. Например:

• Неопределённость вида

Решается путём сокращения числителя и знаменателя на БМВ.

Находится БМВ исходя из её определения — это есть величина, которая стремится к нулю:

Например, если , то (т. е. БМВ является разность ) и. т.п.

Для сокращения в дроби БМВ можно разложить числитель или знаменатель по формулам сокращённого умножения (см. Таблицы).

Также для деления числителя и знаменателя на БМВ используется деление многочленов столбиком.

Если в пределе имеются тригонометрические функции (sin, cos, arctg и т. д.), а также при подстановке переменной получается неопределенность , то велика вероятность того, что надо воспользоваться заменой, тригонометрическими формулами, а также первым замечательным пределом:

— первый замечательный предел

В соответствии с ним в пределах можно делать замену (только при умножении синусов, косинусов и т. п.):

всё это можно делать, только если ,

где A — выражение, содержащее переменную.

Например:

• Неопределённость вида

Такие пределы решаются с помощью второго замечательного предела:

Второй замечательный предел

или

Рассмотрим пример:

в скобках выделяем единицу и БМВ

Далее домножаем числитель и знаменатель показателя степени на величину, обратную БМВ в скобочках:

Всё, что обведено в рамку = e (исходя из второго замечательного предела), тогда:

!!! Учтите, что неопределённостью является только ! Так , а