10. Пример дискретного фильтра второго порядка.

Разностное уравнение фильтра:

Передаточная функция может быть записана на основе выражения:

; имеет 2 полюса и 2 нуля.

Корни этого уравнения: ;

если подобрать коэффициенты так, чтобы, то корни получаются комплексно-сопряженными: , .

Свойство корней уравнения:

;

Подадим на фильтр один дельта-импульс, тогда

В результате вычислений получаем:

;

- отсчеты затухающей амплитуды.

.

Реализация фильтра:

11. Дискретное преобразование Фурье. Свойства дпф.

В современной радиотехнике большое количество задач решается в частотной области. Необходимо из сигнала вычислить спектр.

Рис. 1. Непрерывный сигнал и соответствующий ему спектр

Р ис. 2. Дискретизированный сигнал и его спектр

Рис. 3. Дискретный спектр и соответствующий ему сигнал

;

- прямое ДПФ

- обратное ДПФ

Свойства ДПФ:

1.Свойство периодичности: ДПФ формирует периодический спектр, а ОДПФ – периодический сигнал.

2.Свойство симметрии: при четном N и действительном

В частности, при , т.е. - действительное число. - тоже действительное число, т.к. .

3.Свойство линейности:

4.Сдвиг

,

Если (умножить) смещать спектр по фазе, то появляется сдвиг сигнала по времени.

12. Эффекты квантования в цифровых фильтрах. Ошибки, вызываемые аналого-цифровым преобразованием.

Эти эффекты возникают тогда, когда реальные цифровые фильтры имеют дискретные параметры и на них поступают квантованные отсчеты сигналов. Различают 3 эффекта:

1) введение квантованных коэффициентов фильтра приводит к нелинейным соотношениям. Эти соотношения трудно, а иногда невозможно решить точно.

2)квантование входных сигналов приводит к возникновению шума квантования. Этот шум проходит через фильтр и изменяет его характеристики.

3)квантование или округление результатов умножений. Влияние округления на фильтр зависит от того, как осуществляется округление и от конкретной реализации фильтра. Если ошибки округления не зависят друг от друга, то получаем модель, в которой к различным точкам цепи подключаются различные источники шума.

Ошибки, вызываемые аналого-цифровым преобразованием.

Ошибки, вызываемые квантованием сигнала, можно считать некоррелированными, если при переходе от одного отсчета к другому м.б. пройдено несколько уровней квантования. Для каждого из этих отсчетов шум квантования . Если пренебречь другими ошибками, можно вычислить дисперсию шума на выходе фильтра. Сигнал и шум независимы и поэтому мы можем рассмотреть прохождение сигнала и шума через фильтр независимо. Фильтр считаем либо передаточной функцией H(Z) или импульсной характеристикой {h_n}. Если импульсная характеристика, то отсчеты шума на выходе:

e_m – отсчеты шума квантования входного сигнала, они независимы.

Дисперсия шума на выходе равна: . При этом предполагается, что до момента m=0 шума не было. Тогда можно сказать, что шум на выходе зависит от времени и от n.

13. Особенности практического использования дпф.

При использовании ДПФ часто возникают 3 проблемы, из-за которых могут быть сделаны неверные выводы:

1)Появление ложных спектральных составляющих.

2)Размывание спектральных составляющих.

3)Паразитная амплитудная модуляция спектра.

Рассмотрим отдельно:

1)Возникает в том случае, если неправильно выбрана верхняя частота.

Это явление, при котором ВЧ-ые компоненты сигнала могут быть приняты за НЧ-ые. Причина: недостаточная частота дискретизации. Вывод: необходимо правильно выбирать . 2)Это явление всегда имеет место. Причина – ограниченный объем обрабатываемых данных (конечная выборка).

С этим явлением необходимо бороться. Исключить его полностью не удается, однако уменьшить боковые лепестки удается. Для этого используют весовые функции.

Подавление лепестков зависит от используемой весовой функции. Этих весовых функций существует много.

3)Она возникает в том случае, когда по отдельным дискретным отсчетам спектра пытаемся вычислить его значение на других частотах между этими дискретами.

Это связано с тем, что каждый коэффициент Фурье получается пропусканием сигнала через фильтры.

Используется подход, когда преобразуемый массив отсчета сигнала дополняется нулевыми отсчетами.

Позволяет вычислить промежуточные отсчеты.

Алгоритм ДПФ – хороший алгоритм, но у него есть недостаток: большие затраты времени и памяти при вычислении спектра.