4. Решение задач с помощью уравнений прямой и плоскости

Задача 7

Найти пересечение плоскостей и

Решение

Плоскости и пересекаются по прямой так как нормаль плоскости неколллинеарна нормали плоскости Точки прямой пересечения должны удовлетворять системе уравнений

Тогда при получим а при получим Значит, точки и принадлежат линии пересечения плоскостей. Вектор направляющий вектор искомой прямой. Тогда уравнение линии пересечения имеет вид В данном случае деление на означает лишь то, что прямая параллельна плоскости Уравнение прямой в параметрическом виде имеет вид

Задача 8

Найти пересечение прямой и плоскости

Решение

Направляющий вектор данной прямой и нормальный вектор данной плоскости не являются перпендикулярными (так как их скалярное произведение не равно Значит, данная прямая и плоскость пересекаются в точке координаты которой удовлетворяют системе уравнений

Таким образом, искомая точка имеет координаты

5. Расстояние и отклонение точки от плоскости

Пусть точка известная точка пространства и пусть дана плоскость Пусть - проекция точки на плоскость Тогда где - прямая, проходящая через точку перпендикулярно плоскости Нормальный вектор плоскости совпадает с направляющим вектором прямой значит, уравнение этой прямой имеет вид Координаты точки удовлетворяют системе уравнений

Отсюда

Расстояние от точки до плоскости - это длина вектора Отсюда получим

Итак, формула расстояния от точки до плоскости

Модуль в числителе этого выражения говорит о том, что на данном расстоянии от плоскости на прямой, проходящей через точку находятся две точки – сама точка и симметричная ей относительно плоскости Таким образом, знак выражения внутри модуля в числителе дроби показывает, с какой стороны от плоскости расположена точка.

Выражение называется отклонением точки от плоскости и обладает следующим смыслом

если

если лежит по ту же сторону от куда направлен нормальный вектор плоскости

если лежит по другую сторону от

Задача 9

Найти расстояние от точки до плоскости

Решение

Используя полученную формулу, получим

Задача 10

Пересекает ли плоскость отрезок если Пересекает ли плоскость прямая

Решение

Таким образом, отклонения обеих точек от плоскости одного знака, следовательно, они лежат по одну сторону от а значит, отрезок не пересекает плоскость Но отклонения данных точек не равны между собой, значит, они находятся на разном расстоянии от плоскости, то есть отрезок не параллелен плоскости Следовательно, прямая пересекает плоскость

6. Задачи для самостоятельного решения

Уравнение прямой

1. Написать уравнение прямой, проходящей через точки и если

А)

Б)

2. Лежит ли точка на прямой если

3. Известно, что Написать уравнения прямых если параллелограмм.

4. Написать уравнения медиан треугольника если

5. Написать уравнение высот треугольника если

6. При каком значении параметра прямая пересекает ось аппликат?

7. Найти расстояние между прямой и осью абсцисс.

8. Найти уравнение общего перпендикуляра прямых и

Уравнение плоскости

1. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно отрезку если

2. Написать уравнение плоскости, проходящей через середину перпендикулярно если

А)

Б)

3. Плоскость задана уравнением Найти уравнения плоскостей, симметричных

А) относительно оси абсцисс

Б) относительно оси ординат

В) относительно оси аппликат

Г) относительно плоскости

Д) относительно плоскости

Е) относительно плоскости

Ж) относительно начала координат

4. Написать уравнения плоскостей, проходящих через точку и перпендикулярных каждой из координатных осей.

5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки если

А)

Б)

6. Составить уравнение плоскости, симметрично плоскости относительно точки

7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки и параллельно оси аппликат.

Уравнения прямой и плоскости

1. Найти пересечение плоскостей и если

А)

Б)

2. Спроектировать точку на плоскость

3. Найти пересечение прямой и плоскости

4. Выяснить взаимное расположение плоскостей

5. Найти уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой

6. Провести плоскость через прямые и Найти расстояние между и

7. Спроектировать точку на прямую

8. Написать уравнение прямой, параллельной плоскости проходящей через точку

Расстояние и отклонение точки от плоскости

1. Определить расположение точки относительно плоскостей и

2. Пересекает ли плоскость отрезок если Пересекает ли плоскость прямая Если пересекает – найти точку пересечения.

3. Составить уравнение плоскостей, проходящих на расстоянии от плоскости

4. На оси абсцисс найти точку, равноудалённую от плоскостей и

5. Найти расстояние между плоскостями и

6. Определить, лежит ли точка внутри острого или внутри тупого двугранного угла, образованного плоскостями и

7. Найти уравнение проекции прямой на плоскость

8. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно линии пересечения плоскостей Найти расстояние между этими прямыми.