Властивості

• у випадку дійсних чисел є симетричним, тобто   .

• Скалярний добуток не асоціативний (і не може бути, оскільки результатом скалярного добутку є скаляр, а не вектор).

• Скалярний добуток дистрибутивний по відношенню до додавання та віднімання.

11.Векторний добуток

Ве́кторний до́буток — білінійна, антисиметрична операція на векторах у тривимірному просторі. На відміну від скалярного добутку векторів евклідового простору, результатом векторного добутку є вектор, а не скаляр.

Довільний вектор в   описується своїми координатами відносно стандартного базису   Векторним добутком двох  -векторів

називається  -вектор

який також символічно записується у вигляді   детермінанту:

.

Властивості векторного добутку

• Антикомутативність:

• Білінійність:

• Тотожність Якобі:

На відміну від переважної більшості бінарних операцій "добутку" (дійсних чи комплексних чисел, елементів групи тощо), векторний добуток не є асоціативним. Натомість, наведені властивості означають, що вектори у   з операцією векторного добутку утворюють алгебру Лі.

• Правило паралелограму:

Довжина векторного добутку двох векторів чисельно дорівнює площі паралелограму який побудований на векторах-співмножниках відкладених від спільної точки.

• Як наслідок з попередньої властивості, векторний добуток дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли співмножники — паралельні (тобто скалярно пропорціональні), зокрема, векторний добуток будь-якого вектору на себе — нульовий вектор.

12. Мішаний добуток   векторів   — скалярний добуток вектора   на векторний добуток векторів   і  :

.

Інколи його називають потрійним скалярним добутком векторів, вочевидь через те, що результатом є скаляр (точніше — псевдоскаляр).

Геометричний сенс: Модуль мішаного добутку чисельно дорівнює об’єму паралелепіпеда, утвореного векторами  .

13. поняття ліній.класифікація

Нехай на площині декарт.системи координат

Означення: рівняння f(x,y)=0 назив.рівнянням ліній в задан.системі координат,кщо в цьому рівнянні задов.. координати будь-якої точки Б що леж. На лінії,а кожна точка що не лежить на лінії не задов. Це рівняння. Лінії Д-це геометричне розміщення точок координати яких задов. Рівняння лінії

Алгебраїчна лінія:

Кожна неалгебраїчна лінія-трасцендентна.

14. Р-ня прямої з відомим кут. Коеф. Можна записати у вигляді:

y-y0=tgα(x-x0)

y-y0=k(x-x0) ; k-кут. коефіцієнт

Кут між двома прямими:

Нехай дві неперпендикулярні прямі α1, α2 представити рівняннями:

y=k1x+b1; y=a2x+b2.

Визначається за ф-лою:

tgα=

Умовою паралельності цих прямих є: k1=k2;

Перпендикулярності: k1=k2.

15. Нормальне р-ня прямої можна записати у вигляді:

xcosα+ysinα-p=0 ,де

р>0 –довжина перпендикуляра проведеного з початку координат на пряму.

α-кут нахилу цього перепендикуляра до осі Ох.

Нормальне р-ня прямої застосовують тоді коли треба знайти відхилення та відстань від точки до прямої.

Відхилення точки М і М0 називається число , що дорівнює відстані точки від прямої взяті зі знаком: (+) якщо точка і початок координат прямують у різні сторони , і зі знаком (-) якщо в одну сторону.

Від т. M відхилення прямої дорівнює : δа

ІδаІ=da

da=