17. Унитарное подобие.
Так как для унитарной матрицы U*=U-1 , то преобразование А → U*AU, определенное на Сn×n , явл. подобием которое называется унитарным подобием.
Опр. Матрица B Є Сn × n называется унитарно подобной матрице А Є Сn × n , если найдется унитарная матрица U Є Сn × n , такая, что B = U*AU. Если Г можно выбрать вещественной (а значит, ортогональной), то В называется ортогонально подобной матрице А.
Рассмотрим два специальных типа унитарных матриц, которые осуществляют преобразования унитарного подобия, весьма важные для вычисления собственных значений.
Пример 1. (Плоские вращения). Матрица U(θ;i,j) осуществляет вращение (на угол θ) в плоскости координат i,j. Заметим, что если матрица умножается слева на U(θ; i, j), то в ней изменяются только i-я и j-я строки, а если она умножается справа, то изменяются только i-й и j-й столбцы. Таким образом, при переходе к унитарно подобной матрице, осуществляемом с помощью U(θ;i,j), происходит изменение только строк и столбцов с номерами i и j. Унитарное подобие, существляемое посредством плоских вращений, используется при вычислении собственных значений.
Пример2. (Преобразования Хаусхолдера). Возьмем произвольный ненулевой вектор w ∈ Cn и образуем матрицу
Uw = E – tww* (Uw ∈ Cn × n) ,
где t = 2(w*w)-1. Заметим, что w*w - это положительный скаляр, ww* ∈ Cn × n матрица. Если вектор w был нормирован (w*w = 1), то t должно быть равно 2, а матрица Uw должна иметь вид Uw = E − 2ww*. Часто образуют матрицу Uw, выбирая заранее именно нормированный вектор w.
Любая матрица Uw называется преобразованием Хаусхолдера.
Теорема.
Для
унитарно
подобных матриц A
и B
из Сn×n
имеет место равенство
Доказательство:
18. Теорема Шура об унитарной триангуляризации матриц
Теорема. (Шура об унитарной триангуляризации). Пусть задана матрица A ∈ Сn × n и зафиксирован какой-то порядок ее собственных значений λ1,... ,λn. Тогда существует унитарная матрица U ∈ Сn × n , такая, что
U* AU = T = [tij] −
верхняя треугольная матрица с диагональными элементами tii = λi, i = 1,n. Кроме того, если A ∈ Rn × n и все ее собственные значения вещественны, то U можно выбрать ортогональной.
Другими словами, любая комплексная матрица унитарно подобна треугольной матрице. Доказательство:
П
усть
x(1)
-
нормированный собственный вектор,
отвечающий
:
Дополним x(1) до базиса: x(1), y(2) , , y(n) (*)
Ортонормируем систему (*): x(1) , z(2) ,…, z(n) (**)
Составим из (**) матрицу U1: унитарная
U1 =[ x(1) , z(2) , . . . , z(n)]
Рассмотрим матрицу:
A[
]=
[
Аналогично строится унитарная матрица
Сформируем матрицу
Продолжая
аналогично, построим
унитарная
Замечание1. В формулировке теоремы Шура можно говорить не о верхних треугольных, а о нижних треугольных матрицах. При этом унитарная эквивалентность будет осуществляться другой матрицей U. Замечание2. В теореме Шура неоднозначно определяются и U, и T. Это связано с выбором векторов z(i), w(i) и т.п., порядком расстановки собственных чисел. Кроме того, то, что находится выше главной диагонали для унитарно подобных верхних треугольных матриц может сильно различаться. Применение теоремы Шура позволяет установить «почти диагонализуемость» произвольной матрицы.