25.11.2012 — Лекция №18

Несовершенство теории оценки погрешностей.

Теории оценки погрешностей постоянно развиваются и совершенствуются, это изучается в разделе численные методы математики. Если результат представляется одним единственным решением, то это называется точечное решение или точечная оценка, измеряется погрешность с помощью абсолютной погрешности. Δ_i=|У_эт-У_i|. Ее основной недостаток – ее реально оценить невозможно, т.к. никто не знает, поэтому на практике всегда применяется понятие максимальное значение абсолютной погрешности, которую можно оценить у каждого конкретного алгоритма. Абсолютное значение не учитывает самой величины результата, т.к. погрешность обеспечивает различное значение точности.

Чаще применяется относительная погрешность δ= Δ_i /y_i и обычно указывается в процентах. Однако при малых значениях оцениваемых величин относительная погрешность может быть очень большой, поэтому для оценки результатов вычислений относительную погрешность применять не удобно. Чаще всего используют приведенную погрешность, т.е. приведенную к максимальному значению диапазона оцениваемой величины δ_пр= Δ_i /y_i(max). Однако точечная оценка несет мало информации, так как эталонное значение для вычисления абсолютной погрешности не существует. Для более достоверной оценки погрешностей вычислений производят большое число экспериментов и на основе обработки полученных результатов дают интервальные оценки погрешности, при этом используются методы математической статистики, то есть дается интервал, в котором с некоторой долей вероятности находится величина с некоторой погрешностью. Основной недостаток интервальных оценок – они применяются только при нормальном законе распределения оцениваемых величин. При этом процесс должен быть эргодическим(без последствий), т.е. соседние значения не зависят друг от друга.

Кроме того, процесс должен быть стационарным, то есть не иметь трендов (тренд – плавное изменение параметров(оценок) измеряемой величины). Поэтому все методы математической статистики, применяемые для оценки погрешностей, рассчитаны только на идеализированный сигнал, а не реальный сигнал, что объясняет несовершенство теории погрешности.

Приближенный характер исходных данных

Некоторые численные значения невозможно представить конечным числом значащих цифр, и, следовательно, они всегда должны иметь приближенный характер. Кроме того, простые дроби тоже нельзя представить конечным числом цифр, особенно важно понимать, что число, представляемое точно в одной системе счисления, может быть представлено бесконечным числом цифр в другой системе счисления, это означает, что перевод системы счисления приводит к дополнительным погрешностям.

0,1₁₀=0,0001100011…₂

Исходные погрешности чисел могут существенно влиять на результат вычислений в зависимости от алгоритма обработки данных. В зависимости от погрешности исходных данных результат получился с очень высокой погрешностью. Такие алгоритмы очень чувствительны к точности исходных данных, поэтому перед применением любых алгоритмов нужно обязательно оценивать их чувствительность к погрешностям.

Поэтому самый главный принцип разработчиков вычислительных систем (и управления) в том, что при любых алгоритмах обработки данных результат, никогда не может быть точнее, чем исходные данные, и наоборот, любой алгоритм только вносит дополнительные погрешности.

Погрешность от выполнения арифметических операций.

Погрешность арифметических операций возникает из-за ограниченного числа разрядов, представляемых в ЭВМ. Для дробных чисел ограниченное число разрядов всегда приводит к погрешности, так как реализуется операция округления дробных чисел.