23. Методика проверки гипотезы равенства двух выборочных средних для выборок, взятых из нормальной генеральной совокупности, с использованием критерия Стьюдента.

Случай выборки из нормальной генеральной совокупности. В этом случае оценка расхождения двух выборочных средних производится при помощи критерия t Стьюдента. Если выборки берутся из нормальной совокупности, то величина (4) подчинена распределению Стьюдента и может быть оценена при помощи таблицы вероятностей (см. приложение табл. П.2); – вычисляется по формуле .(5) Принимая во внимание, что и выражение (5) можно заменить следующим: (6)

Подставляя значение из выражения (6) в формулу (4), окончательно получим (7) где и – объем выборок; и ; и — их средние и дисперсии. При оценке полученного значения t по табл. П.2 приложения необходимо принимать k =  + - 2. Таблица дает вероятность случайных значений t, которые численно не менее наблюденного значения t₁. Если эта вероятность будет очень мала (практически, когда P ≤ 0,05), то наша нулевая гипотеза о несущественном, случайном расхождении между выборочными средними должна быть забракована. Если же вероятность будет достаточно велика (практически, когда P > 0,05), то гипотеза однородности выборочных средних может быть принята. Рассмотренный метод сравнения и оценки расхождения выборочных средних пригоден для малых выборок, когда объем их n < 25. При этом необходимо отметить, что применение критерия связано с предположением о равенстве дисперсий выборок. Это последнее допущение должно быть предварительно обосновано. В противном случае показания критерия t могут привести к ошибочным заключениям. Методика проверки равенства дисперсий выборок будет изложена ниже. Если объем выборок n > 25, то критерий t вычисляется по формуле

Случай выборок не из нормальной совокупности. Если выборка взята из генеральной совокупности, распределение которой не следует закону нормального распределения, то оценка расхождения двух выборочных средних возможна лишь приближенная. Для этой цели также определяется величина t, причем t вычисляется так же, как и в предыдущем случае по формуле (7) или (8) в зависимости от объема выборок. Если окажется, что t ≥ 3, то с большой вероятностью (которая, однако, остается неопределенной) можно считать, что средние и различаются существенно друг от друга и, наоборот, при t < 3 расхождение между и с большой вероятностью можно считать несущественным, случайным.

24. Методика проверка гипотезы равенства двух выборочных дисперсий для выборок, взятых из нормальной генеральной совокупности. Как определяется расчетное и критическое значения критерия т?

Случай выборки из нормальной генеральной совокупности. Пусть имеются две выборки из нормальной совокупности. Объем каждой выборки равен n₁ и n₂. Дисперсии этих выборок соответственно равны и . Можно ли считать при наличии некоторых различий между величинами и , что данные выборки принадлежат одной и той же генеральной совокупности? Или можно поставить вопрос так: произведено два опыта, из которых один опыт производился с фактором A, а другой — без него. Каждый опыт повторялся n раз. В результате обработки статистических данных получено, что дисперсия признака х в опытах с фактором A равна величине , а без него -  . Оказывает ли существенное влияние исследуемый фактор A на признак х? Для ответа на поставленные вопросы необходимо произвести сравнение дисперсий и оценить, является ли существенным их различие. Сравнение дисперсий производится по их отношению: . (9) В числителе всегда ставится наибольшее значение из двух наблюденных дисперсий. Для этого отношения найден закон распределения его в бесконечной совокупности случайных независимых выборок из нормальной совокупности. По этому закону вычислены значения T (в зависимости от k₁ = n₁ -1 и k₂ = n₂ - 1), которые можно встретить в выборках из нормальной совокупности для различных уровней доверительной вероятности, сведенных в таблицы. Значения Т для доверительной вероятности q = 0,05 приведены в табл. П.3 приложения. Для проверки нашей гипотезы необходимо вычислить наблюденное значение T_н = а затем определить k₁ = n₁ - 1 и k₂ = = n₂ - 1, где n₁ и n₂ — объемы выборок, и найти для этих значений k₁ и k₂ табличное значение T. Если окажется, что наблюденное значение T_н равно или больше табличного T (T_н ≥ T), то такое значение T_н в выборках из нормальной совокупности можно встретить лишь с вероятностью не более той, которая принята в качестве доверительного уровня. Если пользоваться данными табл. П.3 приложения, то такой вероятностью является Р = 0,05. Так как эта вероятность очень мала, то по принципу практической невозможности маловероятных явлений надо считать, что наблюденное значение T_н отличается от табличного не случайно, а существенно, и поэтому наша гипотеза должна быть забракована. Если же окажется, что T_н < T, то гипотеза принимается.

Случай выборок не из нормальной совокупности. Если выборки берутся из совокупностей, незначительно отличающихся от нормальных, то для сравнения дисперсий можно пользоваться критерием T. Но, если совокупность имеет распределение, значительно отличающееся от нормального распределения, то можно сравнивать дисперсии только для больших выборок. В этом случае за критерий оценки может быть взято отношение . (10) Если это отношение t_s ≥ 3, то расхождение между дисперсиями существенно; если t_s < 3 — расхождение несущественно.