6. Анализ движения жидкой частицы

Классификация движений жидкости на основании зависимости скоростей потока от времени позволяет дать лишь внешнее описание их особенностей. Чтобы выявить внутренние особенности течения, необходимо исследовать распределение скоростей внутри жидкой частицы. Это позволит судить о ее движении в целом.

При рациональном методе исследования какого-либо явления его сравнивают с другим, более простым явлением, определяя особенности более сложного явления по сравнению с простым.

Сравним движение жидкой частицы с известным из теоретической механики движением абсолютно твердого тела. Движение жидкой частицы носит более сложный характер, поскольку она в отличие от твердого тела может деформироваться, причем очень значительно по сравнению с упругим телом.

В курсе теоретической гидромеханики аналитически показано, что

,

то есть скорость любой точки жидкой частицы складывается из скорости полюса , скорости вращения вокруг собственной оси, проходящей через полюс и скорости деформированного движения .

Это положение представляет собой формулировку теоремы Коши – Гельмгольца.

Впервые полеченная формула отличается от аналогичной формулы для твердого тела только наличием члена .

Однако член, характеризующий вращение лишь по форме совпадает с аналогичным членом для твердого тела. Жидкая частица с течением времени деформируется, изменяет свою форму. Поэтому член описывает вращение жидкой частицы как отвердевшего тела лишь в данный момент времени, так как по прошествии этого времени она изменяет свою форму.

Дальнейший анализ формулы Коши – Гельмгольца показывает, что в произвольном случае движения жидкости скорость можно представить в виде суммы двух слагаемых, одно из которых является потенциальным вектором, а другое имеет вихревую природу:

,

где .

Если угловые скорости вращения равны нулю, то скорость является потенциальным вектором:

.

Подобное движение образует класс безвихревых или потенциальных движений.

Если не равно нулю, движение жидкости называется вихревым.

Таким образом, на основании формулы Коши – Гельмгольца, все течение жидкости можно разделить на вихревое и потенциальное. Методы исследования этих течений существенно различаются.

7. Основные характеристики вихревого движения жидкости

Вихревым называется такое движение жидкости, при котором вектор угловой скорости отличен от нуля.

Вихревой линией называют линию, в каждой точке которой в данный момент времени вектор угловой скорости совпадает с касательной к этой линии.

Дифференциальное уравнение вихревой линии:

,

где dx, dy, dz  проекции элемента вихревой линии;

 проекции угловой скорости.

Аналогично понятию трубки тока вводится понятие вихревой трубки.

Вихревая трубка  часть жидкости, ограниченная вихревыми линиями, проведенными через точки произвольного замкнутого контура.

Элементарной вихревой трубкой называют такую, для которой применением угловой скорости по искомому сечению можно пренебречь.

Воздействие вихревой трубки на окружающую жидкость характеризуется ее интенсивностью.

Под интенсивностью вихревой трубки понимается удвоенный поток вектора угловой скорости через произвольные поперечные сечения вихревой трубки:

.

Можно показать, что  интенсивность элементарной вихревой трубки.

.

Введем фундаментальное в гидромеханике понятие циркуляции скорости Г. Она представляет собой криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного произведения вектора скорости на дифференциал радиус-вектора точки контура .

.

Связь между интенсивностью и циркуляцией устанавливается теоремой Стокса. Формулируется эта теорема так: поток вектора вихря через произвольную замкнутую поверхность равен циркуляции скорости по контуру, на который опирается эта поверхность.

Смысл теоремы состоит в том, что интенсивность вихревой трубки равна циркуляции скорости по контуру, на который опирается площадь поперечного сечения трубки:

.

Понятие интенсивности и циркуляции является чисто кинематическими, следовательно, теорема Стокса одинаково справедлива для течения как вязкой, так и невязкой жидкости.