4. (Физический смысл спектрального разложения не нашёл)

Начало отсчета для простоты выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем это в виде

(1)

где α — разность фаз обоих колебаний, А и В равны амплитудам складываемых колебаний. Уравнение траектории результирующего колебания определим исключением из формул (1) времени t. Записывая складываемые колебания как

;

и заменяя во втором уравнении на и на , найдем после несложных преобразований уравнение эллипса, у которого оси ориентированы произвольно относительно координатных осей:

Поскольку траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными. Размеры осей эллипса и его ориентация зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз α.

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний имеют различные значения, то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна. Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, которая совершает одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу. Вид этих замкнутых кривых зависит от соотношения амплитуд, разности фаз и частот складываемых колебаний.

5. Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени.

Величину обычно называют периодом затухающих колебаний, правильнее - условным периодом затухающих колебаний.

Натуральный логарифм отношения амплитуд смещений, следующих друг за другом через промежуток времени, равный периоду Т, называют логарифмическим декрементом затухания.

Добро́тность — характеристика колебательной системы, определяющая полосу резонанса и показывающая, во сколько раз запасы энергии в системе больше, чем потери энергии за один период колебаний.

Добротность обратно пропорциональна скорости затухания собственных колебаний в системе. То есть, чем выше добротность колебательной системы, тем меньше потери энергии за каждый период и тем медленнее затухают колебания.

Общая формула для добротности любой колебательной системы:

f0 — резонансная частота колебаний

W — энергия, запасённая в колебательной системе

Pd — рассеиваемая мощность.

Время жизни колебаний, оно же время затухания, оно же время релаксации. τ — время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в e раз.

τ = 1 / γ

Это время рассматривается как время, необходимое для затухания (прекращения) колебаний (хотя формально свободные колебания продолжаются бесконечно долго).

6. Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних сил, меняющихся во времени.

Амплитуда вынужденных колебаний определяется амплитудой колебаний внешней

силы, а также соотношением между частотой изменения этой силы и собственной

частотой колебательной системы.

Вынужденные колебания отличаются по фазе от вынуждающей силы. Сдвиг по фазе зависит от частоты вынуждающей силы.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой.

7. диф. уравнение затухающих колебаний в контуре с R, L и С:

Колебательный контур — осциллятор, представляющий собой электрическую цепь, содержащую соединённые катушку индуктивности и конденсатор. В такой цепи могут возбуждаться колебания тока (и напряжения).

Колебательный контур — простейшая система, в которой могут происходить свободные электромагнитные колебания

В случае электрических колебаний энергия в конуре представляет собой сумму энергии электрического поля, запасенной между обкладками конденсатора, и энергии магнитного поля, запасенной в катушке с индуктивностью

Полная энергия в контуре остается неизменной:

Частота колебаний энергий в 2 раза превосходит частоту колебаний заряда и тока в контуре.

Электрическая и магнитная энергии сдвинуты по фазе на полпериода друг относительно друга; происходит непрерывное перекачивание энергии из одной формы в другую и обратно.

Незатухающие гармонические колебания можно представить в виде проекции равномерного движения по окружности. Если изобразить графически колебания на диаграмме отклонение — время, то получится синусоидальная кривая. Поэтому часто гармонические колебания называются также синусоидальными колебаниями.

Дифференциальное уравнение свободных гармонических незатухающих колебаний.

7. Всякий реальный колебательный контур обладает сопротивлением. Энергия электрических колебаний в таком контуре постепенно расходуется на нагревание сопротивления, переходя в джоулево тепло, вследствие чего колебания затухают.

Уравнение свободных затухающих колебаний

Частота свободных затухающих колебаний ω′ меньше собственной частоты ω0

; ;

Коэффициент β называется коэффициентом затухания

Затухание колебаний принято характеризовать декрементом колебаний λ, определяемым как:

7. 

Формула показывает, что в контуре возникают вынужденные гармонические незатухающие колебания, амплитуда и сдвиг фазы которых зависит от частоты колебаний внешней ЭДС.

Вынужденные электрические колебания — это периодические изменения силы тока в контуре и других электрических величин под действием переменной ЭДС от внешнего источника.

Максимальное (резонансное) значение амплитуды вынужденных колебаний напряжения

Амплитуда их зависит не только от величины воздействующей эдс, но и от соотношения между частотой этой эдс и собственной частотой самого контура. Если частота внешней эдс равна собственной частоте контура, то амплитуда колебаний становится максимальной и для поддержания колебаний достаточно незначительной энергии. Этот случай и называется резонансом. Явление резонанса состоит в том, что при совпадении частоты воздействующей эдс и собственной частоты контура амплитуда вынужденных колебаний достигает наибольшей величины.

Фаза колебаний — аргумент функции, описывающей гармонические колебания

Напряжение и сила тока в резисторе совпадают по фазе в любой момент времени.

7. Переменный ток — это ток, периодически изменяющийся со временем. Он представляет собой вынужденные электрические колебания, происходящие в электрической цепи под действием периодически изменяющейся внешней ЭДС.

Квазистационарный ток, относительно медленно изменяющийся переменный ток, для мгновенных значений которого с достаточной точностью выполняются законы постоянных токов.

Величину называют полным сопротивлением цепи переменного тока.Выразим связь между амплитудными значениями силы тока и напряжения в цепи переменного тока следующим образом: Это выражение называют законом Ома для цепи переменного тока.

Электри́ческий импеда́нс (комплексное сопротивление, полное сопротивление) — комплексное сопротивление двухполюсника для гармонического сигнала.

Импедансом называется отношение комплексной амплитуды напряжения гармонического сигнала, прикладываемого к двухполюснику, к комплексной амплитуде тока, протекающего через двухполюсник. При этом импеданс не должен зависеть от времени: если время t в выражении для импеданса не сокращается, значит для данного двухполюсника понятие импеданса неприменимо.

Активное сопротивление — сопротивление электрической цепи или её участка, обусловленное необратимыми превращениями электрической энергии в другие виды энергии (в тепловую энергию).

Активное сопротивление определяет действительную часть импеданса:

Z = R + jX, где Z — импеданс, R — величина активного сопротивления, X — величина реактивного сопротивления, j — мнимая единица.

Реакти́вное сопротивле́ние — электрическое сопротивление, обусловленное передачей энергии переменным током электрическому или магнитному полю (и обратно).

Реактивное сопротивление определяет мнимую часть импеданса.

Величина реактивного сопротивления может быть выражена через величины индуктивного и ёмкостного сопротивлений: