4. Монотонність функції.

Функція, яка тільки зростає, або тільки спадає, на даному числовому проміжку, називається монотонною. Термін монотонна функція об'єднує поняття: зростаючої, спадної, не зростаючої (строго монотонна), не спадної, постійної (не строго монотонна).

Обмежені та необмежені функції.

у=f(x) – називається обмеженою зверху (знизу), на деякій множині х, якщо для будь-якого значення х, з цієї множини існує таке число М(м), що f(x)  М (зверху), м  f(x) (знизу). Функції обмежені зверху і знизу будем називати обмежені у множині х. у=f(x) – обмежені на

Х <=> ( x є X  м,М; м  f(x)  М, але частіше нерівність м  f(x)  М в означенні обмеженої функції заміняють на нерівність |f(x)|  A, таку, де А = мах(м,М). Графік обмеженої функції розміщається в горизонтальній полосі у є [-A;A]. Прикладом обмеженої функції є функції типу y=sinx; y=cosx. Якщо таких чисел м,М для функції не існує, то функція називається необмеженою.

5. Періодичні функції.

Говорять, що функція у=f(x) – визначена на всій числовій осі періодично, з періодом Т>0, якщо f(xT)=f(x). Якщо Т – період функції f(x), то і кратні йому числа будуть теж періодами цієї функції. Тобто, якщо f(x+T)=f(x), f(x+kT)=f(x), k=1, 2, 3... K – найменший період. Для побудови графіка періодичної функції достатньо побудувати частину цього графіка, на будь-якому проміжку, довжина = Т, а після цього продовжити періодично цей графік вліво і вправо на сусідні проміжки довжиною Т.

Парні та непарні.

Функція f(x) – називається парною чи непарною, якщо вона визначена на симетричному, відносно початку координат, проміжку; f(-x)=f(x) – парна; f(-x)= - f(x) – непарна. Графік парної функції симетричний відносно осі ОУ, непарної – відносно початку координат. Більшість функцій не відносяться ні до числа парних, ні до числа непарних. Вони називаються функціями загального виду, але будь-яку функцію можна представити у вигляді суми парної і непарної функції, якщо задана функція визначена на симетричному, відносно початку координат, проміжку. Приклад: f(x)=[ f(x)+f(-x) ] / 2 + [ f(x)-f(-x) / 2 ] – тотожні вирази.

6.Поняття складної функції.

y=f(u); u=(x), то у=f [(x)] – називається складною функцією змінної х, при цьому функція u називається проміжковим аргументом (залежна змінна). х – незалежна змінна. Приклад: y= - складна функція, у= , u=x³

Поняття оберненої функції.

Нехай на множині х, визначена функція y=f(x) (1), із значеннями у множині У. Якщо при цьому кожному значенню у із У відповідає х з Х, для якого f(x)=y, то на множині У можна визначити функцію х=(y) (2). Множини Х і У можуть бути довільними числовими множинами. Визначена таким чином функція (2) називається оберненою до заданої функції (1). Враховуючи, що традиційно аргумент функції позначають через х, а саму функцію через у, перепишемо (2), перепозначивши х на у, а у на х: y=(x) (3). Геометрично така заміна означає, що графіки обернених функцій ( (2) обернене до (1); (1) – до (2), а разом ці функції називаються взаємооберненими) симитричні відносно бісектриси перпендикуляра та трьох координатних кутів. Теорема існування оберненої функції: якщо функція = f(x) – зростає, або спадає на множині Х, то на відповідній множині У існує однозначна обернена функція х=(у). Також зростаюча, або спадаюча. Прикладами взамно-обернених функцій із відомих елементарних функцій є показникова і логарифмічна.