5. Метрическое пространство и его аксиоматика.

Множ-ва в котором эл-ты к/л образом связаны – множества со структурой или пространства. Простейшее среди пространств – метрическое. Пространство метрическое, если каждая пара его эл-ов связана неотрицат-ым числом. Это число наз-ют метрикой или расстоянием D(a,b)

Аксиомы метрического пространства.a,b R, d(a,b) R

1.

- аксиома о существовании не отрицатильного числа для любой пары элементов множества.

2.

аксиома идентичности, аксиома симетричности.

3.

Аксиома симетричной метрики (похожа на комутатив).

4. аксиома треугольника утверждает о том, что для любых трёх элементов, взятых из множества, расстояние от третьго элемента не больше чем сумма от первого до второго или второго до третьего. Эл-ты метрического пространства назыв так же точками метрического пространства.

6. Примеры метрики кодовое расстояние Хемминга

СООБШЕНИЕ - последовательно упорядоченое м-во (кортеж), эл-ты которого могут неоднократно повторяться. Дальше будем называть сообщ-ие кодовым словом или просто словом. Расстояние м/у двумя словами разной длины определяется числом разрядов в этом слове с разным содержимым. a=<картина> b=<корзина> d(a,b)=2 Для кодового или хеммингова расстояния в кач-ве эл-ов выступают кодовые слова, рассм-ые как n-мерные картежи одинак-ой длины, элементы картежей – значения алфавита Um. Е=(Um, n). 1)x=<кит>, y=<кот>, Um – рус. алфавит, m=33, n=3, d(x, y)=1. Если метрика хорошая, то можно построить систему автоматического распознавания объектов.

7. Линейное пространство и его аксиоматика.

Линейное простр-во – метрич-ое пространство, в котором из одних эл-ов можно получать др. путем их сложения и умнож-ия на число. Сложнее метрического т.к. эл-ты кроме расст-ия связаны алгебраич. опер-ми.

5) о существовании 3-го для каждых 2

6)

Аксиома ассоциативности/сочетательности

7) аксиома коммутативности в сложении

8) о существовании выделенного эл-та мн-ва (единица оп-ии для сложения – нулевой эл-т)

9) о сущ. обратного эл-та мн-ва.

Аксиомы 5)-9) описывают св-ва аддитивности

10) о деформируемости эл-та (α-число)

11) о деформации суммы 2х объектов

12) о поочередной деформации 1го эл-та

Аксиомы 10)-12) описывают св-ва однородности

8. Линейное нормированное пр-во и аксиоматика.

Линейное пр-во НОРМИРОВАННОЕ, Если каждому Эл-ту его мн-ва М поставить в соответствие неотрицат. число – норму(вес). Норма позволяет измерять сложные объекты, приписывая им вес, а метрика – только сравнивать.

13) о существовании нормы для любого эл-та.

14) о норме нулевого эл-та

15) о норме деформированного эл-та

16)

Аксиома для нормы суммы эл-тов.

Заметим, что норма может выступать в кач-ве метрики, для этого надо рассматривать норму разности

1)d(a,b)>=0	1) ||a||>=o
2) d(a,a)=0	2) ||Ø||=0
3) d(a,b)=d(b,a)	3) ||α*a||=| α|*||a||
4) d(a,c)<=d(a,b)+d(b,c)	4) ||a+b||<=||a||+||b||

Т.о. норма фиксирует сложную связь, которая вкл метрику.