26.Методы интегрирования.

1. Подведение под знак дифференциала

2. Метод замены переменной (метод подстановки)

Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где  — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

3. Интегрирование по частям

Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:

Или:

В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл

где  — многочлен -ой степени.

 

27.Интегрирование рациональных функций

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Для интегрирования рациональной функции , где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов:

Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;

Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;

Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;

Вычислить интегралы от простейших дробей.

28.Интегрирование тригонометрических функций

и .

Интегралы вида

находятся с помощью тригонометрических формул

29.Интегрирование иррациональных функций.

Для интегрирования иррациональной функции, содержащей используется подстановка . Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию, содержащую несколько рациональных степеней x, применяется подстановка в форме , где n полагается равным наименьшему общему кратному знаменателей всех дробных степеней, входящих в данную функцию. Рациональная функция x под знаком корня n-ой степени, т.е. выражение вида , интегрируется с помощью подстановки .

  3.

     4.

     5.

30.Определенный интеграл

Определение определённого интеграла. Пусть на отрезке [a,b] задана функция y = f(x). Разобьём отрезок [a,b] произвольным образом на n частей точками [x₀ , x₁], [x₁ , x₂], …, [x_i-1 , x_i], …, [x_n-1 , x_n]; длину i-го отрезка обозначим : ; максимальную из длин отрезков обозначим . На каждом из отрезков [x_i-1 , x_i] выберем произвольную точку и составим сумму . Сумма называется интегральной суммой. Если существует (конечный) предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения отрезка [a,b] на части [x_i-1 , x_i], ни от выбора точек , то функция f(x) называется интегрируемой по отрезку [a,b], а этот предел называется определённым интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается . Функция f(x), как и в случае неопределённого интеграла, называется подынтегральной, числа a и b - соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования. Кратко определение иногда записывают так: . В этом определении предполагается, что b> a. Для других случаев примем, тоже по определению: Если b=a, то ; если b<a, то .

Свойства определённого интеграла

        Свойство 1. Производная от определённого интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которую вместо переменной интегрирования подставлено значение верхнего предела. То есть

Свойство 2. Определённый интеграл от суммы функций равен сумме неопределённых интегралов

Свойство 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла

Свойство 4. Если на отрезке        , где        , функции         и         удовлетворяют условию        , то

Свойство 5. Если         и         - наименьшее и наибольшее значения функции         на отрезке         и        , то

Свойство 6. Если поменять местами верхний и нижний пределы интегрирования, то определённый интеграл изменит знак

  Свойство 7. Для любых трёх чисел         справедливо равенство

если только все три интеграла существуют.         Свойство 8 (Теорема о среднем). Если функция         непрерывна на отрезке       , то на этом отрезке найдётся такая точка        , что справедливо равенство: