3.6.4. Діапазони зміни витрат виробництва

Допустимі відносні діапазони зміни витрат виробництва, за яких оптимальне рішення не зміниться:

Витрати виробництва виробу ВС1, виготовленого на першій швейній машинці, можуть бути зменшені на 1 од. вартості та необмежено збільшені.

Витрати виробництва виробу ВС2, виготовленого на першій швейній машинці, можуть бути зменшені на 2 од. вартості та збільшені на 0,5 од. вартості.

Витрати виробництва виробу ВС1, виготовленого на другій швейній машинці, можуть бути зменшені на 9 од. вартості та збільшені на 1 од. вартості.

Витрати виробництва виробу ВС2, виготовленого на другій швейній машинці, можуть бути зменшені на 0,5 од. вартості та збільшені на 2 од. вартості.

Допустимі абсолютні діапазони зміни витрат виробництва, за яких оптимальне рішення не зміниться:

Витрати виробництва виробу ВС1, виготовленого на першій швейній машинці, можуть змінюватися від 9 од. вартості до нескінченості.

Витрати виробництва виробу ВС2, виготовленого на першій швейній машинці, можуть змінюватися від 5 до 7,5 од. вартості.

Витрати виробництва виробу ВС1, виготовленого на другій швейній машинці, можуть змінюватися від 0 (мінімальні витрати) до 6 од. вартості.

Витрати виробництва виробу ВС2, виготовленого на другій швейній машинці, можуть змінюватися від 4,5 до 7 од. вартості.

3.7. Рішення задач параметричного програмування

Варіант 47.

Цільова функція:

z = -3*x₁ + 4*x₂ + δ*(-2*x₁ - 4*x₂) → max

Обмеження:

3*x₁ + 1*x₂ ≥ 4

1*x₁ + 4*x₂ ≥ 5

2*x₁ + 3*x₂ ≤ 17

x₁, x₂ ≥ 0

max z = -3*x₁ + 4*x₂ + δ*(-2*x₁ - 4*x₂) + 0*S₁ + 0*S₂ + 0*s₃ + 0*R₁ + 0*R₂

3*x₁ + 1*x₂ – S₁ + R₁ = 4

1*x₁ + 4*x₂ – S₂ + R₂ = 5

2*x₁ + 3*x₂ + s₃ = 17

x₁, x₂, S₁, S₂, s₃, R₁, R₂ ≥ 0

min r = R₁ + R₂

R₁ = 4 - 3*x₁ - 1*x₂ + S₁

R₂ = 5 - 1*x₁ - 4*x₂ + S₂

r = 4 - 3*x₁ - 1*x₂ + S₁ + 5 - 1*x₁ - 4*x₂ + S₂ = 9 - 4*x₁ - 5*x₂ + S₁ + S₂

r + 4*x₁ + 5*x₂ - S₁ - S₂ = 9

z + 3*x₁ - 4*x₂ - δ*(-2*x₁ - 4*x₂) - 0*S₁ - 0*S₂ - 0*s₃ - 0*R₁ - 0*R₂ = 0

При δ = 0 маємо наступні симплекс-таблиці.

БЗ	x1	x2	S1	S2	s3	R1	R2	Ріш.	Відн.
r	4	5	-1	-1	0	0	0	9
z	3	-4	0	0	0	0	0	0
ž	2	4	0	0	0	0	0	0
R1	3	1	-1	0	0	1	0	4	4
R2	1	4	0	-1	0	0	1	5	1,25
s3	2	3	0	0	1	0	0	17	5,67

БЗ	x1	x2	S1	S2	s3	R1	R2	Ріш.	Відн.
r	2,75	0	-1	0,25	0	0	-1,25	2,75
z	4	0	0	-1	0	0	1	5
ž	1	0	0	1	0	0	-1	-5
R1	2,75	0	-1	0,25	0	1	-0,25	2,75	1
x2	0,25	1	0	-0,25	0	0	0,25	1,25	5
s3	1,25	0	0	0,75	1	0	-0,75	13,25	10,60

БЗ	x1	x2	S1	S2	s3	R1	R2	Ріш.	Відн.
r	0	0	-0,01	0,00	0	-0,99	-1,00	0
z	0	0	1,44	-1,36	0	-1,44	1,36	1
ž	0	0	0,36	0,91	0	-0,36	-0,91	-6
x1	1	0	-0,36	0,09	0	0,36	-0,09	1
x2	0	1	0,09	-0,27	0	-0,09	0,27	1
s3	0	0	0,45	0,64	1	-0,45	-0,64	12

БЗ	x1	x2	S1	S2	s3	Ріш.	Відн.
z	0	0	1,44	-1,36	0	1
ž	0	0	0,36	0,91	0	-6
x1	1	0	-0,36	0,09	0	1	11,11
x2	0	1	0,09	-0,27	0	1	-
s3	0	0	0,45	0,64	1	12	18,82

БЗ	x1	x2	S1	S2	s3	Ріш.	Відн.
z	15,11	0	-4	0	0	16,11
ž	-10,11	0	4	0	0	-16,11
S2	11,11	0	-4	1	0	11,11	-
x2	3,03	1	-1	0	0	4,03	-
s3	-7,08	0	3	0	1	4,92	1,64

БЗ	x1	x2	S1	S2	s3	Ріш.	Відн.
z	5,67	0	0	0	1,32	22,67
ž	-0,67	0	0	0	-1,32	-22,67
S2	1,67	0	0	1	1,32	17,67	13,39
x2	0,67	1	0	0	0,33	5,67	17,17
S1	-2,36	0	1	0	0,33	1,64	4,97

Отже, при δ = 0 оптимальним розв'язком є , z = 22,67.

На малюнку 3.7.1 зображені множина допустимих розв’язків і нормалі цільових функцій при δ = 0 і δ = ∞.

Малюнок 3.7.1. Графічна ілюстрація задачі.

В оптимальній симплекс-таблиці серед елементів , є від’ємний, визначимо верхню границю значення δ, при якому поточний розв'язок є оптимальним:

Це означає, що при 0 ≤ δ ≤ 1 оптимум такий: , z = 22,67 – 22,67*δ.

При δ = 1 будемо мати альтернативний оптимум, а подальше збільшення значення параметру приведе до зміни базису.

Продовжуємо обчислення, оскільки не виконується жодна з умов закінчення.

БЗ	x1	x2	S1	S2	s3	Ріш.	Відн.
z	5,67	0	0	0	1,32	22,67
ž	-0,67	0	0	0	-1,32	-22,67
S2	1,67	0	0	1	1,32	17,67	13,39
x2	0,67	1	0	0	0,33	5,67	17,17
S1	-2,36	0	1	0	0,33	1,64	4,97

БЗ	x1	x2	S1	S2	s3	Ріш.	Відн.
z	15,11	0	-4	0	0	16,11
ž	-10,11	0	4	0	0	-16,11
S2	11,11	0	-4	1	0	11,11
x2	3,03	1	-1	0	0	4,03
s3	-7,15	0	3	0	1	4,97

На малюнку 3.7.2 зображена нормаль загальної ЦФ при значенні δ = 1 і виділені точки альтернативного оптимуму.

Малюнок 3.7.2. Нормаль загальної ЦФ при значенні параметру δ = 1.

При δ = 1 оптимальні значення змінних та цільової функції такі:

, z = 22,67 – 22,67*δ = 16,11 – 16,11*δ = 0.

В оптимальній симплекс-таблиці серед елементів , є від’ємний, визначимо верхню границю значення δ, при якому поточний розв'язок є оптимальним:

Це означає, що при 1 ≤ δ ≤ 1,49 оптимум такий: , z = 16,11 – 16,11*δ.

При δ = 1,49 будемо мати альтернативний оптимум, а подальше збільшення значення параметру приведе до зміни базису.

Продовжуємо обчислення, оскільки не виконується жодна з умов закінчення.

БЗ	x1	x2	S1	S2	s3	Ріш.	Відн.
z	15,11	0	-4	0	0	16,11
ž	-10,11	0	4	0	0	-16,11
S2	11,11	0	-4	1	0	11,11	1
x2	3,03	1	-1	0	0	4,03	1,33
s3	-7,15	0	3	0	1	4,97	-

БЗ	x1	x2	S1	S2	s3	Ріш.	Відн.
z	0	0	1,44	-1,36	0	1
ž	0	0	0,36	0,91	0	-6
x1	1	0	-0,36	0,09	0	1
x2	0	1	0,09	-0,27	0	1
s3	0	0	0,46	0,64	1	12,12

На малюнку 3.7.3 зображена нормаль загальної ЦФ при значенні δ = 1,49 і виділені точки альтернативного оптимуму.

Малюнок 3.7.3. Нормаль загальної ЦФ при значенні параметру δ = 1,49.

При δ = 1,49 оптимальні значення змінних та цільової функції такі:

, z = 16,11 – 16,11*δ = 1 – 6*δ = -7,94.

В оптимальній симплекс-таблиці серед елементів , немає від’ємних, то верхня границя значення δ, при якому поточний розв'язок є оптимальним:

.

Це означає, що при δ > 1,49 оптимум такий: , z = 1 – 6*δ.

Закінчуємо обчислення, оскільки виконується умова закінчення ( , ). Це означає, що подальше збільшення параметру δ не призведе до зміни базису, а лише зменшуватиме значення цільової функції.

Відповідь даної задачі наведена у таблиці:

Параметр δ	Оптимальний розв’язок
		z
δ = 0		22,67
0 ≤ δ < 1		22,67 – 22,67*δ
δ = 1		0
1 < δ < 1,49		16,11 – 16,11*δ
δ = 1,49		-7,94
1,49 < δ < ∞		1 – 6*δ

28