Смешанное произведение векторов и его свойства
Смешанным произведением векторов
называется
число
,
равное скалярному произведению вектора
на
векторное произведение векторов
и
.
Смешанное произведение обозначается
.
Геометрические свойства смешанного произведения
1. Модуль смешанного произведения
некомпланарных векторов
равен
объему
параллелепипеда,
построенного на этих векторах. Произведение
положительно,
если тройка векторов
—
правая, и отрицательно, если тройка
—
левая, и наоборот.
2. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны:
векторы
компланарны.
Докажем первое свойство. Найдем по
определению смешанное произведение: ,
где
—
угол между векторами
и
.
Модуль векторного произведения (по
геометрическому свойству 1) равен площади
параллелограмма,
построенного на векторах
и
:
. Поэтому
.
Алгебраическое значение
длины
проекции вектора
на
ось, задаваемую вектором
,
равно по модулю высоте
параллелепипеда,
построенного на векторах
(рис.
1.47). Поэтому модуль смешанного произведения
равен объему
этого
параллелепипеда:
Знак смешанного произведения определяется
знаком косинуса угла
.
Если тройка
правая,
то
и
смешанное произведение
положительно.
Если же тройка
левая,
то
и
смешанное произведение
отрицательно.
Докажем второе свойство. Равенство
возможно в трех случаях:
или
(т.е.
),или
(т.е.
вектор
принадлежит
плоскости векторов
и
).
В каждом случае векторы
компланарны
(см.
разд. 1.1).
Алгебраические свойства смешанного произведения
1. При перестановке двух множителей смешанное произведение изменяет знак на противоположный:
При циклической (круговой) перестановке множителей смешанное произведение не изменяется:
2. Смешанное произведение линейно по любому множителю.
Первое свойство следует из геометрического свойства 1 и свойств ориентации троек векторов (см. разд. 1.9), поскольку от перестановки двух множителей модуль смешанного произведения не изменяется, а меняется только ориентация тройки. При циклической перестановке векторов ориентация тройки не изменяется.
Второе свойство следует из линейности скалярного произведения и свойства 1.
Пример 1.21.
Объем параллелепипеда, построенного
на векторах
,
равен
.
Найти объем параллелепипеда, построенного
на векторах
Решение. Используя алгебраические и геометрические свойства, найдем смешанное произведение
а затем его модуль . По первому
геометрическому свойству смешанного
произведения искомый объем равен
.
Формула вычисления смешанного произведения
Теорема 1.9 (формула
вычисления смешанного произведения).
Если векторы
в
правом ортонормированном базисе
имеют
координаты
;
;
соответственно,
то смешанное произведение этих векторов
находится по формуле
(1.17) |
В самом деле, учитывая (1.10) и (1.15), по определению находим:
что и требовалось доказать.
Замечания 1.13
1. Используя свойства смешанного произведения, можно доказать линейность векторного произведения по первому множителю (см. п.1 замечаний 1.12 в разд.1.15):
Для этого найдем скалярное произведение
вектора в левой части равенства и
единичного вектора
стандартного
базиса. Учитывая линейность смешанного
произведения по второму множителю,
получаем
т.е. абсцисса вектора, стоящего в левой части доказываемого равенства равна абсциссе вектора в правой его части (см. пункт З замечаний 1.10). Аналогично доказываем, что ординаты, а также и аппликаты, векторов в обеих частях равенства соответственно равны. Следовательно, это равные векторы, так как их координаты относительно стандартного базиса совпадают.
2. Из первого алгебраического свойства смешанного произведения и коммутативности скалярного произведения следует, что
т.е. . Последнее равенство можно взять в качестве эквивалентного определения смешанного произведения.
3. Если тройка векторов
является
базисом пространства, то тройка векторов
образует взаимный базис.
В самом деле, указанный вектор
по
определению векторного произведения
ортогонален векторам
и
,т.е.
и
,
а скалярное произведение
равно
единице, так как . Поэтому вектор
содержится
во взаимном базисе. Аналогичные
рассуждения проводятся относительно
векторов
и
.
Поэтому базисы
и
взаимные.
4. Если — координатные столбцы векторов в стандартном базисе, то их смешанное произведение находится по формуле
Пример 1.22.
Параллелепипед
построен
на векторах
(рис.1.48).
Требуется найти:
а) смешанное произведение
,
а также ориентацию тройки
;
б) объем треугольной пирамиды
;
в) высоту
параллелепипеда
(расстояние между плоскостями оснований
и
).
Решение. а) Смешанное произведение находим по формуле (1.17):
.
Поскольку произведение отрицательно, то тройка векторов — левая (см. первое геометрическое свойство смешанного произведения).
Для нахождения смешанного произведения
можно использовать матричную запись
формулы (1.17) (см. пункт 4 замечаний 1.13).
Векторам
,
,
соответствуют
координатные столбцы
По формуле пункт 4 замечаний 1.13 получаем
Результаты совпадают.
б) Объем
треугольной
пирамиды
составляет
шестую часть объема
параллелепипеда.
Действительно, их высоты совпадают, а
площадь
основания
пирамиды составляет половину площади
параллелограмма
.
Поэтому . Поскольку , то
в) Высоту
параллелепипеда
найдем по формуле
,
где
—
площадь параллелограмма
.
Поскольку
и
(см.
пример 1.20), то
.