Материальные уравнения эл/м поля

Для описания электромагнитных явлений в материальных средах необходимо располагать соотношениями, которые связывали бы попарно векторные поля Е и D, В и Н. Уравнения подобных связей принято называть материальными уравнениями.

Третье уравнение Максвелла является обобщением закона Гаусса на случай переменных процессов. Поток вектора электрической индукции D через поверхность S, ограниченную объемом V равен электрическому заряду сосредоточенному внутри объема V:

П оследнее соотношение справедливо, если равны подынтегральные соотношения. Отсюда получаем: div D= ρ(свободных зарядов) (1)

Это уравнение обобщеная форма закона Гаусса. Развернем дивергенцию в системе координат:

Анализируя (1) отметим, что истоками или стоками вектора электрического смещения D являются свободные электрические заряды. Силовые линии начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных. В отличие от вектора электрического смещения истоками и стоками другого электрического вектора - вектора напряженности H могут быть как свободные, так и связанные электрические заряды.

П ричиной возникновения этой величины является неравномерность вещества под действием внешнего электрического поля. Подставляя (4) в (3), получим:

Так как в природе не обнаружено магнитных зарядов и токов, то закон Гаусса и его дифференциальная форма в этом случае описываются следующим образом:

В екторное поле магнитной индукции не имеет стоков и истоков. Силовые линии замкнуты.

D=ε₀E

B=μ₀H

Эти два уравнения называют материальными уравнениями.

Поляризационные и сторонние токи

Эффект поляризации диэлектриков несомненно связан с перемещением в пространстве заряженных частиц, что равноценно протеканию в области, занятой диэлектриком, некоторых токов, именуемых поляризационными токами. Между поляризационными токами и токами проводимости принципиальной разницы нет. Произведём запись уравнения непрерывности для плотности поляризационного тока J_пол в виде

Наряду с этим с этим, дифференцируя формулу

б удем иметь

о ткуда

З десь, наконец, можно целиком расшифровать весь физический смысл составляющих, из которых формируется вектор плотности суммарного тока J_∑ входящий в формулу

Н ам уже известны два первых слагаемых – плотность тока проводимости и плотность тока смещения

Д обавлением плотности поляризационного тока

у читывается процесс поляризации материальной среды. Сторонний ток — ток возбуждаемый внешним источником Jст

Таким образом, дифференциальная форма закона полного тока обретает развернутый вид:

П оскольку

о бъединив первые два слагаемых в правой части, получаем

первое уравнение Максвелла.

Уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной форме

Уравнения Максвелла для монохроматических колебаний. Комплексные амплитуды полей.

Все реальные электромагнитные процессы можно представить либо в виде суммы дискретных гармонических колебаний, либо в виде непрерывного спектра гармонических колебаний. Поэтому изучение гармонических во времени электромагнитных полей представляет большой практический и теоретический интерес. Такие поля часто называют также монохроматическими.

Анализ гармонических процессов существенно упрощается при использовании метода комплексных амплитуд. В этом случае вместо любой скалярной функции, изменяющейся по закону

где ψ_m - амплитуда; φ - начальная фаза; ω = 2πf = 2π/T; a f и T-частота и период гармонического колебания, вводится в рассмотрение комплексная функция

В систему уравнений Максвелла входят частные производные по x,y,z,t. Для упрощения исключим одну из переменных, это возможно при монохроматическом процессе, когда изменение полей во времени происходит по гармоническому закону с частотой w.

Ex,Ey,Ez - амплитуды отдельных составляющих поля. ɸ_x,ɸ_y,ɸ_z - фазовые углы(начальные фазы). E(t) описывает эллипс и в комплексной форме:

Вектор

Введем комплексные амплитуды в уравнение Максвелла