8. *Методы вычисления определителей

При вычислении определителей применяются различные методы, основанные на свойствах определителей. Часто используемый метод состоит в преобразовании определителя к более простому виду, что мы и видели в уже рассмотренных выше примерах.

Однако вычисления определителей с буквенными элементами и определителей с произвольным порядком n сталкиваются с определёнными трудностями. Общего метода вычисления таких определителей не существует. К определителям того или иного специального вида применяются различные методы вычислений. Рассмотрим некоторые из них.

A) Метод приведения к треугольному виду

Этот метод заключается в преобразовании определителя к такому виду, когда все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Получаемый в результате треугольный определитель равен произведению элементов главной диагонали.

Пример 2.9. Вычислить определитель n-го порядка

Решение. Прибавив в первому столбцу все остальные, получим

Если теперь вычесть первую строку из всех остальных, то получим треугольный определитель:

,

который равен произведению элементов главной диагонали, т.е.

. 

Пример 2.10. Вычислить определитель (n+1)-го порядка

Решение. Прибавим к первому столбцу все остальные:

Выносим за знак определителя общий множитель и вычитаем из каждой строки, начиная с последней, предыдущую строку:

Раскладываем по первому столбцу:

В результате получаем треугольный определитель:

. 

Пример 2.11. Вычислить циркулянт n-го порядка

Решение. Прибавим к последней строке все предшествующие:

Теперь получим нули в последней строке, вычитая из каждого столбца предыдущий (из последнего предпоследний, из предпоследнего предыдущий и т.д.):

.

Теперь вычтем первую строку из всех последующих

.

Разложим полученный определитель по последнему столбцу

. 

B) Метод рекуррентных соотношений

Этот метод заключается в том, что данный определитель n-го выражают через один или несколько определителей того же типа, но более низкого порядка. Полученное равенство

(2.16)

называется рекуррентным соотношением.

Метод рекуррентных соотношений заключается в том, что сначала определяется рекуррентное соотношение (2.16). Далее, для нахождения общей формулы для _n, можно выбрать два пути. Либо последовательно выражают исходный определитель через определители более низких порядков и приходят к общей формуле, либо вычисляют несколько первых определителей и угадывают общую формулу, которая затем доказывается методом математической индукции.

Пример 2.12. Вычислить определитель n-го порядка

Решение. Разложим определитель по первому столбцу:

Разложим определитель (n–1)-го порядка во втором слагаемом по первой строке. В результате получим рекуррентное соотношение

.

Чтобы вычислить _n при помощи этого рекуррентного соотношения, запишем его в двух вариантах

,

.

Тогда

,

.

Подставив два последних равенства в предыдщие, находим

,

и, продолжая процесс, получаем

,

.

Исключим из двух последних равенств _n–1:

.

Так как

,

то

. 

Замечание. Отметим один частный случай рекуррентных соотношений (разностных уравнений):

. (2.17)

где p и q – постоянные величины. Решение этого уравнения имеет вид

, (2.18)

, ,

где  и  – решения характеристического уравнения . Здесь мы не будем рассматривать теорию разностных уравнений.

Пример 2.13. Вычислить определитель n-го порядка

Решение. Разложим _n по элементам первого столбца:

Разложим второй определитель по первой строке. В результате получим рекуррентное соотношение

.

Пользуясь этим соотношением можно получить общее выражение для определителя _n. Перепишем его следующим образом

.

Отсюда видно, что при любом i=2,3,…,n есть величина постоянная. Найдём её:

,

,

откуда

.

Теперь можно написать

, или .

С помощью последнего соотношения получаем следующую цепочку равенств:

,

,

…………………

.

Отсюда

Подставив в это равенство ранее найденное значение ₂, найдём

.

В частности, если a=1, то

.

Если a1, то по формуле для суммы геометрической прогрессии получаем

. 

Пример 2.14. Вычислить определитель Вандермонда:

Решение. Подсчитаем определитель Вандермонда при n=2 и при n=3. Для n=2 имеем

.

При подсчёте определителя третьего порядка

вычтем из третьего столбца второй, умноженный на x₁, из второго первый, умноженный на x₁. Получим

Очевидно, что аналогичные рассуждения можно провести и при больших значениях n, и это даёт основание сформулировать гипотезу:

.

Докажем эту гипотезу методом математической индукции. Пусть она доказана для определителя порядка n–1. В определителе порядка n вычтем из каждого столбца предшествующий, умноженный на x₁:

Здесь можно применит предположение индукции:

Формула доказана. 