8.Метод Крамера
При небольшой размерности системы m (m = 2,…,5) на практике часто используют формулы Крамера для решения СЛАУ:
(i
= 1, 2, …, m). Эти формулы позволяют находить
неизвестные в виде дробей, знаменателем
которых является определитель матрицы
системы, а числителем – определители
матриц Ai, полученных из A заменой столбца
коэффициентов при вычисляемом неизвестном
столбцом свободных членов.
Так А1 получается
из матрицы А заменой первого столбца
на столбец правых частей f.
Например, для системы двух линейных уравнений
Размерность системы (т.е., число m) является главным фактором, из–за которого формулы Крамера не могут быть использованы для численного решения СЛАУ большого порядка. При непосредственном раскрытии определителей решение системы с m неизвестными требует порядка m!*m арифметических операций. Таким образом, для решения системы, например, из m = 100 уравнений потребуется совершить 10158 вычислительных операций (процесс займёт примерно 1019 лет), что не под силу даже самым мощным современным ЭВМ
9. Решение линейных уравнений. Решение невырожденых систем.
(1)
предполагая, что
а11
0
умножаем 1-ое Ур-ие на а21/а11
и прибавляем ко второму и т.д. Получим Ур-ия не содержащие х1. Аналогично со вторым.
(2)
(3)
(3)
(2)- имеет единственное решение.
(3)- имеет бесконечно много решений. Одни неизвестные выражаются через другие.
(4)- не имеет решений.
10. Однородные система уравнений. Фундаментальная система решений.
Система линейных уравнений называется однородной, если свободный член в каждом уравнении равен нулю. Однородная система имеет вид
Всякая однородная система всегда совместна, так как всегда имеет нулевое (тривиальное) решение х1=0, х2=0, , хn=0. Для существования нетривиального решения необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных (rang A < n).
Особенностью однородной системы является то, что всякая линейная комбинация ее решений вновь является решением системы. Поэтому для отыскания общего решения системы достаточно найти все ее линейно независимые решения и составить их линейную комбинацию. Совокупность линейно-независимых решений однородной системы называется фундаментальной системой решений. Если ранг системы равен r, то всякая фундаментальная система состоит из (n-r) решений.
12.Вектор линейной операции над векторами
Геометрический вектор - направленный отрезок. |AB|=|a| - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора одинаковые, когда они имеют одинаковое направление и равные модули. Противоположные, когда имеют равные модули и противоположное направление. Нуль-вектор. Единичный вектор.
1.умножение на число: произведение вектора А на число наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми: а) |А|=|| |А| б) >0, то А, <0, то А. 2.Суммой неск-их векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора. 3. Разностью векторов а и в наз-ся вектор c, который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а.
1) a+b=b+a
2) (a+b)+c = a+(b+c)
3) a+0=a
4) a+(-a)=0