27.Действия с матрицами (сложение, умножение на скаляр, перемножение матриц, транспонирование матриц). Законы, которым эти действия удовлетворяют.
Сложение.
Сложение матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.
Суммой
матриц
и
одинаковых
размеров, называется матрица
тех же размеров, у которой
Аналогично определяется разность.
Умножение матрицы на число.
Каждый ее элемент умножаем на это число.
Свойства Матриц:
Для любой матрицы A существует противоположная матрица (– A ),
A + (–A) = A – A = 0,
где 0 – матрица, составленная из нулевых элементов.
2) A + B = B + A
3) (A + B) + C = A + (B + C)
4)λ (A + B) = λ A + λ B
(λ – произвольное число.)
5) λ (AB) = (λ A) B = A (λ B)
6) (AB)C = A(BC)
7) A(B + C) = AB + AC
8) (A + B)C = AC + BC
Элементарные преобразования матриц:
- перестановка местами двух параллельных рядов матрицы
- умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля
- прибавление ко всем элементам ряда матриц соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.
Две матрицы можно назвать эквивалентными, если одна из них получается из другой, с помощью элементарных преобразований.
Перемножение Матриц.
Операция умножения двух матриц вводится только тогда, когда число столбцов первой матрицы, равно числу строк второй матрицы.
Элемент i-той строки и к-го столбца матрицы произведения равен сумме произведения элементов i-той строки матрицы А на соответствующий элемент к-го столбца матриц В.(строку на столбец).
Если матрицы квадратные одного размера, то их произведения всегда существуют.
Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ=ВА.
Операция транспонирования матриц обладает следующими свойствами:
1) 
;
2) 
,
для любого действительного числа 
;
3) 
;
4) 
,
для любых матриц A и B, для которых имеют
смысл левые части равенств.
Свойства 1), 2), 4) непосредственно вытекают из определения.
Заметим,
что при транспонировании матрицы её
строки становятся столбцами матрицы 
,
с теми же номерами, а столбцы - строками.
28. Определение определителя и его свойства.
Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно).
Свойства определителей:
Свойство 1 «<Равноправность строк и столбцов» . Определитель
не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.
Свойство 2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.
Свойство 3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда , равен нулю.
Свойство 4. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.
Свойство 5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.
Свойство 6. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить
соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое
число .
Свойство 7. Определитель равен сумме произведений элементов некоторого
ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.
Свойство 8. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю.
Следствие 1. Определитель матрицы, имеющей две одинаковые строки (столбца) равен нулю.
Доказательство. Пусть A
- квадратная матрица, имеющая две
одинаковые строки (столбца).B -
матрица полученная в результате
перестановки указанных одинаковых
строк (столбцов)матрицы A. Тогда, с одной
стороны, 
,
с другой стороны, в силу свойства 3,
.
Следовательно, 
.
Из последнего равенства следует, что 
.
Следствие 2. Если какие-либо две строки (столбца) матрицы пропорциональны, то её определитель равен нулю.
Следствие 3. Если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы любой другой строки (столбца), умноженные на любое число , то определитель не изменится.