Примеры непрерывных случайных величин:

 

1) нормальная непрерывная случайная величина, или непрерывная случайная величина Гаусса(нормальное распределение). Непрерывная случайная величина   имеет нормальное (гауссовское) распределение, если её плотность распределения имеет вид

     Если  , то распределение называется стандартным нормальным распределением.

     Важная роль этого распределения объясняется тем, что оно обычно возникает в явлениях, подверженных действию большого числа малых случайных величин. Так, математическая теория выборочного метода в статистике для расчета некоторых показателей широко использует нормальное распределение.

 

2)экспоненциальная (показательная) непрерывная случайная величина(экспоненциальное распределение).  Непрерывная случайная величина   имеет экспоненциальное(показательное) распределение с параметром  , если её плотность имеет вид

     Экспоненциальному распределению подчиняется время распада ядер атомов различных элементов. Оно обладает важным свойством - отсутствием последствия. Несложно убедиться в том, что вероятность распада ядра за время  при условии, что перед этим оно уже прожило время  , совпадает с безусловной вероятностью распада того же самого ядра за время . Именно это свойство и представляет собой отсутствие последствия.

 

3) Равномерная на [a;b] непрерывная случайная величина(равномерное на отрезке [a;b] распределение).

Равномерно распределенная на отрезке [a;b] непрерывная случайная величина  имеет плотность распределения

     Равномерное распределение реализует принцип геометрической вероятности при бросании точки на отрезок [a;b].

Закон распределения дискретной случайной величины

            Определение.  Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.

            Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически.

            Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения.

            Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения.  При этом сумма все ординат многоугольника распределения представляет собой вероятность всех возможных значений случайной величины, а, следовательно, равна единице.

13 Вопрос

Функцией распределения случайной величины   мы назвали функцию  . Основные свойства этой функции заключены в теореме:

Теорема 20. Любая функция распределения обладает следующими свойствами:

(F1)

 она не убывает: если  , то  ;

(F2)

 cуществуют пределы   и  ;

(F3)

 она в любой точке непрерывна слева: 

Доказательство свойства (F1). Для любых чисел   событие   влечёт событие  , т.е.  . Но вероятность — монотонная функция событий, поэтому

QED

Для доказательства остальных свойств нам понадобится свойство непрерывности вероятностной меры.

Доказательство свойства (F2). Заметим сначала, что существование пределов в свойствах (F2), (F3) вытекает из монотонности и ограниченности функции  . Остается лишь доказать равенства

,   и  .

Для этого в каждом случае достаточно найти предел по какой-нибудь подпоследовательности  , так как существование предела влечёт совпадение всех частичных пределов.

Докажем, что   при  . Рассмотрим вложенную убывающую последовательность событий  :

Пересечение   всех этих событий состоит из тех и только тех  , для которых   меньше любого вещественного числа. Но для любого элементарного исхода   значение   вещественно, и не может быть меньше всех вещественных чисел. Иначе говоря, пересечение событий   не содержит элементарных исходов, т.е.  . По свойству непрерывности меры,  при  .

Точно так же докажем остальные свойства.

Покажем, что   при  , т.е.  . Обозначим через   событие  . События   вложены:

а пересечение   этих событий снова пусто — оно означает, что   больше любого вещественного числа. По свойству непрерывности меры,   при  .

Доказательство свойства (F3). Достаточно доказать, что   при  . Иначе говоря, доказать сходимость к нулю следующей разности: