8 Вопрос

1. Гладкие линии. Элементарная кривая γ называется гладкой класса С^k (k≥1), если она допускает параметризацию

x=f₁(t)

y=f₂(t)

z=f₃(t)

или

x=x(t)

y=y(t)

z=z(t) (1)

такую, что выполняются следующие два условия:

1) функции f₁(t), f₂(t), f₃(t) – непрерывны и имеют непрерывные производные до порядка k включительно (векторная функция r(t) непрерывна и имеет непрерывные производные до порядка k включительно),

2) f₁^{′ 2} + f₂^{′ 2} + f₃^{′ 2} ≠0 (т. е. первые производные не обращаются в нуль одновременно, или rang ( )=1) (r'≠0).

Простая линия называется гладкой класса С^k (k≥1), если у каждой ее внутренней точки M существует такая окрестность, что часть фигуры, содержащаяся в этой окрестности, является гладкой (элементарной) линией класса С^k.

Пусть уравнения (1) определяют линию γ в некотором промежутке I изменения переменной t. Эта линия называется кусочно-гладкой, если промежуток I можно покрыть не более как счетным множеством промежутков I_k, внутри каждого из которых уравнения (1) определяют гладкую линию (на концах этих промежутков требование гладкости может нарушаться).

Пример. Докажите, что эллипс является гладкой кривой.

x=a cost

y=b sint

z=c

x'=-a sint

y'=b cost

z'=0

x^{′ 2} + y^{′ 2} + z^{′ 2} =a²sin²t+ b²cos²t ≠0

Для гладкой кривой γ класса С^k , заданной уравнением (1), где t изменяется в промежутке I, допускается только такая замена параметра h: I→I′ , когда функция h(t) имеет в промежутке I непрерывные производные до порядка k включительно, и первая производная __ во всех точках промежутка отлична от нуля.

3. Касательная. Пусть γ - элементарная гладкая кривая класса С^k (k≥1) заданная уравнением r= r(t)= x(t)i + y(t)j + z(t)k (r′≠0)

Рис

Теорема 1. В каждой точке М гладкой линии γ, заданной уравнением (4), существует касательная прямая, которая определяется точкой М и направляющим вектором —.

Доказательство. Возьмем на гладкой линии γ две точки М и M₁,, определяемые радиус-векторами r(t) и r(t+∆t). Вектор ∆r= r(t+∆t)-r(t) является направляющим вектором секущей ММ₁,. Следовательно, вектор ___ также направляющий вектор секущей ММ₁ (рис. 4).

Когда ∆t стремится к нулю, точка M₁, перемещаясь по линии γ, неограниченно приближается к точке М и в пределе совпадает с ней. Секущая ММ₁ вращается при этом вокруг точки М и в пределе совпадает с касательной МТ к линии γ в точке М (касательная МТ определяется как предельное положение секущей). Направляющий вектор ^_____ секущей ММ₁ в пределе при ∆t→0 станет направляющим вектором — касательной МТ.

Если взять другую параметризацию кривой γ. τ=h(t), то получим:_____________

Так как — ≠0 во всех точках промежутка I, то из равенства (5) следует, что __

и ___ коллинеарны, и во всех точках промежутка I имеем — ≠0

Следовательно, ____- направляющий вектор той же касательной МТ.

10 Вопрос

1. Кривизна гладкой кривой. Пусть γ - элементарная гладкая кривая класса С^k, r=r(s) - ее естественная параметризация, Р - произвольная точка гладкой кривой γ и Q - точка кривой, близкая к Р. Обозначим через φ угол между касательными кривой в точках Р и Q, а ׀∆s׀ - длину дуги РQ кривой (рис.5).

Кривизной кривой γ в точке Р называется следующий предел k=lim

Радиус кривизны R = — (если k≠0).

Теорема 1. Гладкая кривая класса С^k (k≥2) имеет в каждой точке определенную кривизну k. Если r=r(s) -естественная параметризация кривой, то k=׀r′′(s)׀

Доказательство. Пусть точкам Р и Q соответствуют значения параметра s и s+∆s. Угол φ равен углу между единичными касательными векторами τ(s)= r′(s), τ(s+∆s) = r′(s+∆s),

(рис. 6).

Найдем

Пример. Кривизна прямой в каждой ее точке равна нулю. Действительно, прямую можно задать следующей векторной функцией r(s) = (s,0,0). Найдем

r' = (1,0,0), r" = (0,0,0), а значит k = r" = 0.