22. Приближение в среднем заданной функции с помощью тригонометрического многочлена.

Представление ф-ции бесконечным рядом имеет на практике тот смысл, что конечная сумма, получающаяся при обрывании ряда на n-м члене, является приближенным выражением.

Приближенное представление периодической функции f(x) тригонометрическим многочленом вида:

Рассмотрим функцию y=f(x) на [a, b]. Оценим погрешность при замене этой ф-ции ф-цией . За меру погрешности можно взять на [a, b] – наибольшее уклонение. Но берут среднее квадратичное уклонение : .

Среди всех тригонометрических многочленов порядка n наименьшее среднее квадратичное уклонение от ф-ции f(x) имеет тот многочлен, коэф. которого – коэф. Фурье функции f(x).

Величина наименьшего квадратичного уклонения:

Т. к. , то при любом n: - неравенство Бесселя.

Можно показать, что если ф-ция f(x) явл. кусочно-монотонной, то при это неравенство превращается в равенство Парсеваля-Ляпунова.

23. Приложения рядов Фурье для нахождения суммы числовых рядов. Разложение ф-ий, заданных графически.

Для нахождения суммы числовых рядов применяется формула . При x=x₀ удается найти сумму соотв. числового ряда не прибегая к нахождению частичных сумм ряда.

; ; .

24.Интеграл Фурье.

Пусть ф-ция f(x) представлена на отрезке (-l;l)

, где

; ;

f(x) абсолютно интегрируема на , тогда * Ф-ция , стоящая в правой части явл. Ф-цией от переменных . Устремим . Можно показать что если ф-ция f(x) кусочно-монотонная и ограничена, то тогда превращается в следующее (при ) -интеграл Фурье.

25.Ряд Фурье в комплексной форме.

; ; ; интеграл Ф. В комплексной формуле при ( ):

1. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда.

2. Признаки сравнения. Признак Даламбера.

Обычный признак сравнения.

3. Радикальный признак Коши.

4. Интегральный признак Коши.

5. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

7. Функциональные ряды, область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрассе.

8. Основные свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.

9. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости.

10. Основные свойства степенных рядов.

11. Ряд Тейлора. Достаточное условие разложимости функции в степенной ряд. Ряд Тейлора.

12. Разложение по степеням х функций е^х, shx, chx, cosx, sinx.

13. Разложение по степеням X функций: и (разложение вывести для одной функции)

14. Методы разложения функций в ряд Тейлора.

15. Приложения степенных рядов. Приближенное вычисление значений ф-ций. Вычисление сумм числовых рядов.

16. Приложения степенных рядов. Приближенное вычисление интегралов.

17. Нахождение коэффициентов тригонометрического ряда по формулам Фурье.

18. Одно замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье.

19. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных ф-ций на интервале .

20. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на интервале [-l; l].

21. Разложение в ряд Фурье непереод. ф-ций.

22. Приближение в среднем заданной функции с помощью тригонометрического многочлена.

23. Приложения рядов Фурье для нахождения суммы числовых рядов. Разложение ф-ий, заданных графически.

24.Интеграл Фурье.

Пусть ф-ция f(x) представлена на отрезке (-l;l)

25.Ряд Фурье в комплексной форме.