2. Гармонический ряд. Ряды Дирихле.

Сходимость рядов с положительными членами (положительных рядов). Термином "положительный ряд" мы будем называть числовой ряд с неотрицательными членами: для . Для таких рядов частичная сумма является возрастающей функцией аргумента n. Монотонно возрастающая функция имеет конечный предел тогда и только тогда, когда она ограничена сверху, поэтому сразу сформулируем признак сходимости положительных рядов:

Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена.

В случае, когда последовательность частичных сумм положительного ряда неограничена, будем говорить, что его сумма равна .

При доказательстве расходимости гармонического ряда мы, по существу, доказали, что последовательность его частичных сумм неограничена. В качестве другого примера прямого применения этого признака рассмотрим ряд Дирихле (или обобщённый гармонический ряд)

. (18.3.1)

Если s<1, то , и, так как частичные суммы неограничены, то суммы и подавно неограничены, т.е. при s<1 ряд (18.3.1) расходится. Пусть теперь s>1. Как и для гармонического ряда сгруппируем члены в частичной сумме по степеням числа 2: …+ .Структура каждой скобки: , поэтому (мы воспользовались формулой для частичной суммы геометрической прогрессии). Последовательность ограничена; ряд сходится.

Итак, ряд Дирихле (18.3.1) сходится при s>1, расходится при s 1.

3. Признаки сравнения рядов с положительными членами (док-во 1-го и 2-го признаков).

Признак сравнения. Пусть даны два положительных ряда и , для которых, хотя бы начиная с некоторого места (при n>N), выполняется неравенство . Тогда: если сходится ряд (В), то сходится ряд (А); если расходится ряд (А), то расходится ряд (В). Другими словами, из сходимости большего ряда следует сходимость меньшего ряда, из расходимости меньшего ряда следует расходимость большего ряда. Сразу отметим, что из расходимости большего ряда, как и из сходимости меньшего ряда, никаких выводов о сходимости второго ряда сделать нельзя.

Доказательство этого утверждения непосредственно следует из сформулированного в начале раздела признака сходимости положительных рядов: если сходится больший ряд, то последовательность его частичных сумм ограничена, следовательно, ограничена последовательность частичных сумм меньшего ряда, следовательно, меньший ряд сходится; если расходится меньший ряд, то последовательность его частичных сумм неограничена, следовательно, неограничена последовательность частичных сумм большего ряда, следовательно, больший ряд расходится.

Предельная форма признака сравнения. Если существует конечный , то ряды (А) и (В) сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. По определению предела для . Последнего неравенства достаточно для доказательства всех утверждений теоремы. сходится сх-ся сх-ся. остальные случаи схематично: (А) расх-ся (3К/2 B) расх-ся (B) расх-ся; (B) сх-ся (3К/2 B) сх-ся (A) сх-ся; (B) расх-ся (К/2 B) расх-ся (A) расх-ся.