17. Построение криволинейного интеграла I рода. Свойства криволинейного интеграла I рода. Вычисление.

Свойства криволинейного интеграла I рода:

• Если функция f непрерывна на кривой L, то интеграл существует.

• Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой, то есть от того, какую из точек, ограничивающих кривую, считать начальной, а какую – конечной. Если назвать эти точки А и В, то

Способ вычисления криволинейного интеграла 1-го рода.

Выберем на кривой L направление от начальной точки А и отметим, что положение точки М на кривой определяется длиной дуги АМ = s. Тогда кривую L можно задать параметрически: x = x(s), y = y(s), z = z(s), где Функция f(x,y,z) становится при этом сложной функцией одной переменной s: f(x(s), y(s), z(s)). Тогда интегральная сумма

где - координата точки Mi, является обычной интегральной суммой для определен-ного интеграла Следовательно,

Если же кривая L задана в параметрической форме:

x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), t0 ≤ t ≤ T,

то, применяя в интеграле (10.3) формулу замены переменной и учитывая, что дифференциал дуги

получим:

Таким образом, вычисление криволинейного интеграла 1-го рода сводится к вычислению обычного определенного интеграла от функции переменной t в пределах, соответствующих изменению значения этой переменной на рассматриваемой кривой.

18. Построение криволинейного интеграла II рода. Свойства криволинейного интеграла II рода. Вычисление.

Свойства криволинейного интеграла 2-го рода.

• Если функции P(M), Q(M), R(M) непрерывны на кривой (АВ), то интеграл (10.6) существует (справедливость этого утверждения следует из определения 10.2).

• При изменении направления кривой (то есть перемены местами начальной и конечной ее точек) криволинейный интеграл 2-го рода меняет знак:

Действительно, при этом изменяется знак Δxi в интегральной сумме.

Способ вычисления криволинейного интеграла 2-го рода.

Теорема 10.1. Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями

x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), α ≤ t ≤ β ,

где φ, ψ, χ – непрерывно дифференцируемые функции, и на ней задана непрерывная функция f(x, y, z). Тогда интеграл (10.5) существует и имеет место равенство

Доказательство.

Запишем Δxi = xi – xi-1 = φ(ti) – φ(ti-1) и преобразуем последнюю разность по формуле Лагранжа: φ(ti) – φ(ti-1) = φ΄(τi)Δti, где τi – некоторое значение t, заключенное между ti-1 и ti. Выберем точку Мi так, чтобы ее координаты соответствовали значению параметра, равному τi : Mi(φ(τi), ψ(τi), χ(τi)). Подставив эти значения в формулу (10.5), получим:

Справа получен предел интегральной суммы для функции f(φ(t),ψ(t),χ(t))φ΄(t) на отрезке [α, β], равный определенному интегралу от этой функции:

что и требовалось доказать.

Следствие. Аналогичные соотношения можно получить для криволинейных интегра-лов вида , откуда следует, что

19. Интеграл по замкнутому контуру. Формула Грина

Формула Грина

Для достаточно общих плоских областей Ω с положительно ориентированной границей справедлива формула

называется формулой Грина. Здесь предполагается, что непрерывны на замыкании области Ω.

Пусть в плоскости xOy дана ограниченная замкнутым контуром L правильная область D, причем ее проекцией на ось Ox является отрезок [a,b], снизу область D ограничена кривой , а сверху – кривой (в совокупности эти кривые составляют замкнутый контур L).

Пусть также в области D заданы непрерывные функции X(x,y) и Y(x,y), имеющие непрерывные частные производные.

Тогда, если обход контура L совершается против часовой стрелки, справедлива следующая формула:

Остальное не нашел.