Дії над комплексними числами.

Мета: студенти повинні навчитись виконувати дії над комплексними числами.

Студенти повинні знати: означення дійсних ірраціональних, раціональних, цілих, натуральних чисел, комплексних чисел.

Студенти повинні вміти: виконувати обчислення над комплексними числами, записаними в різній формі.

Література: Л – 1, стор. 342 ., Л – 2, стор.17,

Л – 6, стор. 33 – 41, Л – 10, стор.33 – 45 ,

Хід роботи

1. Повторення раніше вивченого.

1. Що називають комплексним числом?

2. Як обчислити дії над даними числами?

3. За яким правилом виконують перетворення у тригонометричну форму комплексного числа?

2. Виконання індивідуального завдання.

Методичні рекомендації

Комплексне число z = a + bі, модулем комплексного числа називається дійсне число .

Дії над комплексними числами: z = z₁ + z₂ = (a₁ +a₂) + (b₁ + b₂)і.

z = z₁ - z₂ = a₁ + b₁і – a₂ – b₂і = (a₁ – a₂) + (b₁ – b₂)і.

z = z₁ ∙z₂ = (a₁ + b₁і) (a₂ + b₂і) = (a₁a₂ – b₁b₂) + (a₁b₂ + a₂b₁)і.

Наприклад:

Вираз r(cosφ+ іsinφ) називається тригонометричною функцією комплексного числа.

причому Кут φ = arctg b/a і залежить від чверті в якій знаходиться вектор комплексного числа. a = rcosφ; b = rsinφ. Звідси а + b і= rcosφ + rіsinφ = r (cosφ+ іsinφ).

Дії над комплексними числами у тригонометричній формі має вигляд:

z₁z₂ =r₁r₂(cosφ₁cosφ₂ +іsinφ₁ cosφ₂+іsinφ₂cosφ₁–sinφ₁sinφ₂) = =r₁r₂[cos(φ₁ φ₂) +і sin(φ₁ + φ₂)].

z^п = r^п(cosφ+ іsinφ)^п= r^п(cosпφ+ іsinпφ);

Розглядаючи функцію у=е^х для комплексного змінного, Ейлер встановив співвідношення

е^іφ = cosφ+ іsinφ, тому кожне комплексне число можна записати z = r(cosφ+ іsinφ)= r е^іφ

Дій над даними числами виконуються згідно правил виконань дій із степеневими виразами.

Два комплексних числа називаються рівними, якщо рівні їх дійсні та уявні частини.

Наприклад : Обчислити невідомі при заданій рівності.

(9х-у)+(4х+6у)і=3-(4х-8у-4)і

Практична робота по темі:

Визначення елементів піраміди за допомогою координат вершин.

Мета: студенти повинні навчитись виконувати обрахунки з векторами, якщо вони визначені координатами точок .

Студенти повинні знати: означення векторів, правила виконання дій над векторами , різні види рівнянь І-го і ІІ-го порядків.

Студенти повинні вміти: виконувати обчислення над векторами, записувати рівняння прямої і площини використовуючи різні умови.

Література: Л – 1, стор. 88 – 92 ., Л – 6, стор. 53 – 73 ,

Л – 10, стор.285 – 311, Л – 11, стор. 45 – 57 .

Хід роботи

1. Повторення раніше вивченого.

1. Як використовують скалярний добуток векторів?

2. Як визначити кут між прямою і площиною ?

3. Як записати рівняння прямої що проходить через задані точки?

2. Виконання індивідуального завдання.

Методичні рекомендації

1. Довжину ребра знаходимо як модуль вектора

=

2. Кут між ребрами знаходимо за формулою соs ( ^{^} ) = =

3. Кут між ребром і гранню знаходимо за формулою

де = ;- ; утворений з детермінанта площини

4. Площу грані знаходимо як площу трикутника, побудованого на векторах

5. Об'єм піраміди знайдемо за формулою

V = |( х ) • ,

6.. Рівняння прямої запишемо як рівняння прямої, що проходить через дві точки

7.. Запишемо рівняння площини, яка збігається з гранню А₁А₂А₃ як рівняння площини, що проходить через три точки А₁ , А₂, А_з:

= 0,

Рисунок виконується у трьохвимірному координатному просторі за координатами вершин вказаних в умові

Практична робота по темі:

Задачі лінійного програмування .

Мета: студенти повинні навчитись розв’язувати задачі лінійного програмування

Студенти повинні знати: галузі застосування задач лінійного програмування, означення та методи розв’язання задач лінійного програмування.

Студенти повинні вміти: розв’язувати задачі лінійного програмування різними способами

Література: Л – 11, стор. 354 – 393 .