16.2. Узагальнені сили і способи їх обчислення
Розглянемо
механічну систему, на точки якої діють
сили
.
Дамо можливі переміщення
цим точкам. Запишемо вираз можливої
роботи сил на вказаних можливих
переміщеннях:
|
(14) |
.
Варіація
вектора
має вигляд
|
(15) |
.Якщо підставити вираз (15) в (14), матимемо
.
Позначимо
через
коефіцієнт, що стоїть біля варіації
узагальненої координати, тобто
|
(16) |
.Він називається узагальненою силою.
Тоді вираз для можливої роботи запишеться наступним чином:
,
або
,
де, в свою чергу,
.
Зауважимо,
що розмірність узагальненої сили не
завжди збігається з розмірністю сили,
оскільки
.
У разі, коли розмірність узагальненої
координати є розмірність довжини,
розмірність узагальненої сили збігається
з розмірністю звичайної сили; якщо ж
розмірність узагальненої координати
являє собою розмірність кута повороту,
тоді розмірність узагальненої сили є
розмірністю моменту сили.
Способи обчислення узагальненої сили
1) За
означенням (16) узагальненої сили матимемо:
.
2)
Для обчислення узагальненої сили за
другим способом необхідно надати
механічній системі таке можливе
переміщення, для якого варіація
відповідної узагальненої координати
,
в той же час всі інші варіації узагальнених
координат дорівнюють нулю (
,
,
).
Далі треба обчислити роботу всіх активних
сил на відповідних можливих переміщеннях
,
тоді узагальнену силу можна знайти як
.
3)
За третім способом знаходиться
.
Це часто використовується при розв’язанні
задач.
16.3. Тотожності Лагранжа
Розглянемо механічну систему, що складається з матеріальних точок, рух якої обмежений голономними, ідеальними, утримуючими, стаціонарними в’язями вигляду
.
(
)
Нехай стан такої системи визначається узагальненими координатами ( , - число степенів вільності).
Доведемо справедливість наступних допоміжних співвідношень, необхідних при виведенні рівнянь Лагранжа ІІ-го роду:
;
.
Ці співвідношення називаються тотожностями Лагранжа.
Для доведення
першої тотожності Лагранжа візьмемо
повну похідну за часом
від радіус-вектора
:
.
Візьмемо
частинну похідну за узагальненою
швидкістю
від обох частин цього співвідношення,
враховуючи, що
і
не залежать від
.
Отримуємо першу тотожність:
|
(17) |
.
Для доведення
другої тотожності (17) візьмемо частинну
похідну за узагальненою координатою
від виразу
.
На підставі (17) маємо
|
(18) |
.У загальному випадку залежить від всіх узагальнених координат ( ) і часу . Отже, -
|
(19) |
.Оскільки праві частини виразів (18) і (19) дорівнюють одна одній, то відповідно є рівними і їх ліві частини. В результаті отримуємо шукану тотожність:
.
16.4. Умови рівноваги механічної системи в узагальнених координатах
Розглянемо механічну систему, підкорену ідеальним, голономним, стаціонарним і утримуючим в’язям.
У разі, якщо ця система знаходиться у рівновазі, виконується принцип можливих переміщень
|
(20) |
,
Здійснимо
у виразі (20) перехід від можливих
переміщень
до варіацій узагальнених координат
:
|
(21) |
.Цей вираз є загальним рівнянням статики в узагальнених координатах.
Оскільки система підкоряється вказаним вище в’язям, тому всі варіації узагальнених координат є незалежними. Отже для виконання (21) необхідно, щоб виконувались наступні рівняння:
|
(22) |
.
(
)Рівності (22) являють собою умови рівноваги механічної системи в аналітичній формі.
Висновок: для рівноваги механічної системи, яка підкорена ідеальним, стаціонарним, голономним і утримуючим в’язям, необхідно і достатньо, щоб дорівнювали нулю всі узагальнені сили цієї системи (за умови рівності нулю початкових швидкостей точок системи).