22. Зависимые и независимые случайные величины. Ковариация и корреляция.

Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того какое значение принимает другая случайная величина.

Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая. В противном случае величины X и Y называются зависимыми.

Для независимых непрерывных случайных величин теорема умножения законов распределения принимает вид: , т. е. плотность распределения системы независимых случайных величин равна произведению плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему.

Ковариация - это мера, учитывающая дисперсию индивидуальных значений доходности бумаги и силу связей меж изменениями доходностей дан бумаги и других. Более простое опр-ние ковариации - это мера взаим-вия двух случ переменных.Формула для расчета ковариации следующая:

 где rx и ry – доходности активов X и Y, rXсред и rYсред - ожидаемые (средние) доходности активов X и Y, n – число наблюдений.

Коэффициентом корреляции rxy случайных величин Х и Y называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин.

Коэффициент корреляции лежит в интервале от -1 до +1. Значение корреляции +1 говорит о сильной взаимосвязи, т.е. активы ходят одинаково. Значение -1, наоборот, свидетельствует о разнонаправленности.Значение 0 говорит об отсутствии корреляции. Расчет корреляции осуществляется по формуле:  где cov(X,Y) - ковариация между активами X и Y, в знаменателе - стандартные отклонения активов X и Y

23. Закон больших чисел и его след-вие. Нер-ство Чебышева.

Закон больших чисел в тер вер утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно большой конечной выборки из фиксированного распр-ния близко к теоретич среднему (мате ожиданию) этого распределения. В зав-ти от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вер-сти, и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти всюду.

Всегда найдётся такое кол-во испытаний, при кот с любой заданной наперёд вероятностью частота появления некоторого события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности. Общ смысл закона больших чисел — совместное действие большого числа случ факторов приводит к результату, почти не зависящему от случая.

На этом свойстве основаны методы оценки вер-сти на основе анализа конечной выборки. Наглядным примером является прогноз результатов выборов на основе опроса выборки избирателей.

Закон больших чисел – это несколько теорем, опр-щих общ усл, при кот среднее значение случайных величин стремится к некоторой const при проведении большого числа опытов (теоремы Чебышева и Бернулли).

Если существует последовательность

таких, что для любых ε>0, выполняется условие:

(*)

Последовательность подчиняется закону больших чисел с заданными функциями :

Если в выражении (*) , то говорят, что случайная величина сходится по вероятности к а.

В данных терминах означает, что вел-на η_n-a_n сходится по вероятности к нулю.

Неравенство Чебышева

Для любой случайной величины ξ(кси), имеющей M[ξ] и D[ξ] при каждом ε>0 имеет место неравенство(неравенство Чебышева):

Док-во: ξη, M[ξ]M[η]

Рассмотр. некотор.сл.вел-ну η

24. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.

Закон больших чисел утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно большой конечной выборки из фиксированного распр-ния близко к теоретическому среднему (мат ожиданию) этого распределения.

limP(|1/n сумма (Xi )- a| <=e)=1 n-& i=1

Смысл закона закл . в том, что средние значения случайных величин стремятся к их мат. ожиданию при n- & по вероятн. отклонение средн. значений от мат.ожидания стан-ся сколь угодно малым с вероятностью, близкой к 1, если n достаточно велико или вероятность любого откл. средн. знач. от а сколь угодно мала с ростом n.

Центральная предельная теорема.Пусть   есть бесконечная послед-сть независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечное математическое ожидание и дисперсию. Обозначим последние   и  , соответственно. Пусть также .

Тогда  по распределению при n ,

где N (0,1) — нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным единице. Обозначив символом   выборочное среднее первых n величин, то есть  , мы можем переписать результат центральной предельной теоремы в следующем виде:  по распределению при n /