1. Статистическая обработка данных

1.1. Постановка задачи. Цель работы. Исходные данные

1. Постановка задачи

По выборке объёма N провести статистическую обработку результатов эксперимента.

2) Цель работы

Изучить и усвоить основные понятия математической статистики. Овладеть методикой статистического оценивания числовых характеристик случайной величины и нормального закона распределения. Ознакомиться с методикой применения статистических критериев для проверки гипотез.

3) Исходные данные

Проведен эксперимент, в результате которого была получена выборка N = 60, которая соответствует случайной величине, распределённой по нормальному закону. Эта выборка изложена в следующей таблице.

Таблица 1.

Исходные данные

7,7537	7,8543	6,831	7,978	8,6183	9,8659	8,0819	9,608
7,6193	6,7004	7,276	7,435	8,6217	6,6645	7,8769	6,8972
5,2468	8,252	7,1419	9,1354	7,7021	9,1543	9,0461	10,1269
7,3442	6,8576	8,949	7,5954	7,6157	8,482	8,4438	8,3811
9,1023	8,8564	6,8215	8,402	7,4158	7,0205	8,1151	8,0685
7,4701	8,5411	8,6817	8,5386	7,49	6,6779	7,3893	7,4347
8,0862	8,6915	10,1338	7,9971	7,9105	7,745	7,1258	8,4229
7,8666	8,5396	8,8752	6,7492

1.2. Вычисление основных выборочных характеристик по заданной выборке

1. Среднее арифметическое случайной величины Х (N = 60):

2) Среднее линейное отклонение:

3) Смещенная оценка дисперсии случайной величины Х:

4) Несмещенная оценка дисперсии:

5) Смещенное среднеквадратическое отклонение:

6) Несмещенная выборочная оценка для среднеквадратического отклонения:

7) Коэффициент вариации:

8) Коэффициент асимметрии случайной величины Х:

9) Коэффициент эксцесса случайной величины Х:

10) Вариационный размах:

R = X_max – X_min = 10,1338 – 5,2468 = 4,887

На основании полученных вычислений можно сделать следующие выводы:

1. Необходимое условие для того, чтобы выборка имела нормальный закон распределения, выполняется, т.к. для коэффициента вариации V выполняется неравенство:

V = 11,72297% < 33%

2. Для нормального распределения коэффициенты асимметрии и эксцесса должны быть равны нулю, т.е. As = E = 0.

По результатам вычисления асимметрия близка к нулю и составляет As = 0,028228

В нашем случае асимметрия положительна, это значит, что длинная часть кривой расположена справа от математического ожидания. Коэффициент эксцесса отличен от нуля, значит кривая распределения отличается от нормальной кривой. Эксцесс положительный (Е = 0,215591), кривая имеет более высокую и острую вершину, чем нормальная кривая.

1.3. Результаты вычисления интервальных оценок для математического ожидания и дисперсии

Для вычисления интервальной оценки математического ожидания воспользуемся формулой:

Где а = М[X] – математическое ожидание

N – 1 = V = 59 – число степеней свободы

t_v;p – величина, численно равная половине интервала, в который может попасть случайная величина , имеющая определенный закон распределения при заданной доверительной вероятности Р и заданном числе степеней свободы V.

Подставляем в формулу вычисленные ранее значения и .

Задаемся доверительной вероятностью:

Р₁ = 0,95 Р₂ = 0,99

Для каждого значения Р_i (i=1,2) находим по таблице 1.2 значения t_59;p и вычисляем два варианта интервальных оценок для математического ожидания.

При Р₁ = 0,95 находим t_59;0,95 = 2 и доверительный интервал для =М(Х) имеет вид:

Таблица 2

Значения t_v,_p – критерия Стьюдента

При Р₂ = 0,99 t_59;0,95 = 2,66. Доверительный интервал:

Для интервальной оценки дисперсии существуют неравенства:

Поставляем в неравенство известные значения и N, получим неравенство, в котором неизвестны и .

Задаваясь доверительной вероятностью Р_i (или уровнем значимости а) вычисляем значения и . Используем эти два значения и степень свободы V = N – 1 = 59, по таблице находим и .

= = = =

и - это границы интервала, в который попадает случайная величина Х, имеющая распределение вероятности Р_i и заданной степени свободы V (V=59).

Д ля Р₁ = 0,95 и

находим по таблице 3: = = 40,4817

= = 83,2976

Подставляя в неравенства и и, вычисляя, получим интервальную оценку.

Таблица 3

Значения χ 2 распределения

П ри Р₂ = 0,99 и

находим по таблице: = = 35,5346

= = 91,9517

Поставляя в неравенства и и, вычисляя, получим интервальную оценку.

Для интервальной оценки среднеквадратического отклонения имеем:

При Р₁ = 0,95

При Р₂ = 0,99